Перайсці да зместу

Многавымерная выпадковая велічыня

З Вікіпедыі, свабоднай энцыклапедыі

Многавымерная выпадковая велічыня або выпадковы вектар — набор аднамерных выпадковых велічынь. Асобныя велічыні прадстаўляюць у выглядзе вектара, калі паміж імі ёсць пэўная сувязь, часта яны адлюстроўваюць розныя характарыстыкі аднаго аб’екта. Напрыклад выпадковым вектарам можа быць сукупнасць узросту, вагі і росту чалавека, якога выпадкова выбіраюць з пэўнай групы людзей.

Выпадковым -мерным вектарам завецца адлюстраванне каардынатнымі функцыямі якога ёсць выпадковыя велічыні зададзеныя на імавернаснай прасторы [1]:93

Адлюстраванне ёсць -вымерным[en] адлюстраваннем вымернай прасторы[en] у вымерную прастору дзе  — алгебра ўсіх барэлеўскіх падмностваў[en] мноства

Размеркаванне і функцыя размеркавання

[правіць | правіць зыходнік]

Для многавымерных выпадковых велічынь існуюць свае аналагі размеркавання і функцыі размеркавання[1]:94.

Адлюстраванне якое для кожнага барэлеўскага мноства задаецца роўнасцю завецца размеркаваннем выпадковага вектара

Функцыя

завецца функцыяй размеркавання выпадковага вектара

Уласцівасці функцыі размеркавання

[правіць | правіць зыходнік]

Для функцый размеркавання многавымерных выпадковых велічынь справядлівыя наступныя ўласцівасці[1]:94-97:

  1. неспадальная[en] і непарыўная злева па кожным аргуменце;
  2. калі значэнне прынамсі аднаго з аргументаў імкнецца да то значэнне функцыі размеркавання імкнецца да нуля;
  3. і аналагічныя роўнасці маюць месца, калі значэнні некаторых аргументаў роўныя і ўрэшце
  4. для любых неадмоўных мае месца няроўнасць

Як і ў аднамерным выпадку, кожная функцыя , якая задавальняе ўласцівасцям, мае адпаведны выпадковы вектар, чыя функцыя размеркавання супадае з

Многавымернае дыскрэтнае размеркаванне

[правіць | правіць зыходнік]

Размеркаванне выпадковага вектара завецца дыскрэтным, калі ён прымае канечную[en] або злічальную колькасць значэнняў. Гэта эквівалентна таму, што кожная кардыната выпадковага вектара мае дыскрэтнае размеркаванне[1]:99.

Прыклад многавымернага дыскрэтнага размеркавання — паліномнае размеркаванне.

Многавымернае абсалютна непарыўнае размеркаванне

[правіць | правіць зыходнік]
Візуалізацыя шчыльнасці двухвымернага размеркавання

Размеркаванне выпадковага вектара завецца абсалютна непарыўным, калі існуе амаль усюды[en] неадмоўная функцыя такая, што[1]:100

для кожнага барэлеўскага мноства , а інтэграл разумеюць у сэнсе Лебега[en]. Функцыя завецца шчыльнасцю размеркавання выпадковага вектара або шчыльнасцю сумеснага размеркавання выпадковых велічынь.

Прыклады многавымерных абсалютна непарыўных размеркаванняў — многавымернае нармальнае і размеркаванне Дзірыхле.

Функцыі ад многавымерных выпадковых велічынь

[правіць | правіць зыходнік]

Калі  — выпадковы вектар, а вектар-функцыя[en] барэлеўская[en], то кампазіцыя  — выпадковы вектар з размеркаваннем[1]:105

дзе  — адвольнае барэлеўскае мноства[en], а  — функцыя размеркавання

Зноскі

  1. а б в г д е Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.