Фактаргрупа

Група, алгебра

Тэорыя груп Асноўныя паняцці Падгрупа Нармальная падгрупа Фактаргрупа (паў-)Прамы здабытак Тапалагічныя групы Група Лі Артаганальная група O(n) Спецыяльная ўнітарная група SU(n) G2 F4 E6 E7 E8 Група Лорэнца Група Пуанкарэ

Фактаргрупа — канструкцыя, якая дае новую групу (фактаргрупу) па групе і яе нармальнай падгрупе.

Фактаргрупа групы $G$ па нармальнай падгрупе $H$ звычайна абазначаецца $G/H$.

Вызначэнне

Няхай $G$ — група, і $H$ — яе нармальная падгрупа. Тады на класах сумежнасці $H$ у $G$

$aH=\{\,ah\mid \,h\in H\}$

можна ўвесці множанне:

$(aH)(bH)=abH$

Лёгка праверыць, што гэтае памнажэнне не залежыць ад выбару элементаў у класах сумежнасці, гэта значыць калі $aH=a'H$ і $bH=b'H$, то $abH=a'b'H$. Гэтае множанне вызначае структуру групы на мностве класаў сумежнасці, а атрыманая група $G/H$ называецца фактаргрупай $G$ па $H$.

Уласцівасці

• Тэарэма аб гомамарфізме: Для любога гомамарфізма $\varphi :G\to K$

$G/\mathrm {Ker} \,\varphi \cong \varphi (G)$,

г. зн. фактаргрупа $G$ па ядру $\mathrm {Ker} \,\varphi$ ізаморфна яе вобразу $\varphi (G)$ у $K$.

• Адлюстраванне $a\mapsto aH$ задае натуральны гомамарфізм $G\to G/H$.
• Парадак $G/H$ роўны індэксу падгрупы $[G:H]$. У выпадку канечнай групы $G$ ён роўны $|G|/|H|$.
• Калі $G$ абелева, нільпатэнтная, вырашальная, цыклічная або канечнаспароджаная, то і $G/H$ будзе мець тыя жа ўласцівасці.
• $G/G$ ізаморфная трывіяльнай групе ($\{e\}$), $G/{e}$ ізаморфная $G$.

Прыклады

• Няхай $G=\mathbb {Z}$, $H=2\mathbb {Z}$, тады $G/H$ ізаморфная $\mathbb {Z} _{2}$.
• Няхай $G=\mathbf {UT} _{n}$ (група нявыраджаных верхнетрохвугольных матрыц), $H=\mathbf {SUT} _{n}$ (група верхніх унітрохвугольных матрыц), тады $G/H$ ізоморфна групе дыяганальных матрыц.

Літаратура

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-060-7.