Equació de Pauli
Mecànica quàntica |
---|
Principi d'incertesa Història de la mecànica quàntica Cronologia de la mecànica quàntica |
Conceptes fonamentals |
Científics Bell · Bohm · Bohr · Born · Bose · de Broglie · Dirac · Ehrenfest · Everett · Feynman · Heisenberg · Jordan · Kramers · von Neumann · Pauli · Planck · Schrödinger · Sommerfeld · Wien · Wigner · Salam · Riazuddin |
En mecànica quàntica, l'equació de Pauli o equació de Schrödinger-Pauli és la formulació de l'equació de Schrödinger per partícules de spin ½, que té en compte la interacció de l'spin de la partícula amb un camp electromagnètic extern. Aquesta equació és el límit no relativista de l'equació de Dirac, i es pot utilitzar quan les partícules es mouen a velocitats molt inferiors a la velocitat de la llum, de manera que els efectes relativistes són negligibles. Va ser formulada per Wolfgang Pauli a l'any 1927.[1]
L'equació
[modifica]L'equació de Pauli és:
Equació de Pauli (general)
on:
- és la massa de la partícula.
- és la càrrega elèctrica de la partícula.
- és un «vector» on les tres components són precisament les matrius de Pauli bidimensionals.
- és l'operador vectorial associat al moment lineal. Les components d'aquest vector són .
- és el potencial vectorial del camp electromagnètic.
- és el potencial elèctric escalar.
- és un espinor format per dos components, que es pot representar com:
.
Forma alternativa
[modifica]Si es fan servir les propietats de les matrius de Pauli, es demostra fàcilment la següent igualtat:[2]
I com:
L'equació es pot reescriure de la següent forma:
Equació de Pauli (forma estàndard)
Relació amb l'equació de Schrödinger i l'equació de Dirac
[modifica]L'equació de Pauli no és relativista, sinó que incorpora l'spin. Com a tal, es pot considerar que ocupa el punt intermedi entre:
- L'equació familiar de Schrödinger (en una funció d'ona escalar complexa), que no és relativista i no prediu l'spin.
- L'equació de Dirac (en un espinor complex de quatre components), que és completament relativista (pel que fa a la relativitat especial) i prediu l'spin.
Tingueu en compte que a causa de les propietats de les matrius de Pauli, si el potencial del vector magnètic A és igual a zero, llavors l'equació es redueix a l'equació de Schrödinger coneguda d'una partícula en un potencial purament elèctric ϕ, excepte que opera en un espinor de dos components:
Per tant, podem veure que l'spin de la partícula només afecta el seu moviment en presència d'un camp magnètic.
Relació amb l'experiment de Stern–Gerlach
[modifica]Els dos components de l'espinor satisfan l'equació de Schrödinger. Per a una partícula en un camp B aplicat externament, l'equació de Pauli és:
Equació de Pauli (Camp B)
on
és la matriu d'identitat 2 × 2, que actua com a operador de identitat. El terme de Stern-Gerlach pot obtenir l'orientació de l'spin dels àtoms amb un electró de valència, com per exemple, els àtoms de plata que flueixen a través d'un camp magnètic no homogeni. De manera anàloga, el terme de Stern-Gerlach és responsable de la divisió de les línies espectrals (corresponents als nivells d'energia) en un camp magnètic, com es pot veure en l'anòmal efecte Zeeman.