![Infotaula distribució de probabilitat](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO91KgPRoqwSJ2BVMq1BngBFbA9OnO93MqTXKgrCMqiRo29TLq9SKO90MfrToE82bNo5b1lOL2dNJgh0KNeSK3nZbNeOKfGTsfdRoZz0opvNaE5NJAKSKg5Z)
![](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO91KgPRoqwSJ2BVMq1BngBFbA9OnO93MqTXKgrCMqiRo29TLq9SKO90MfrToE83bNK0b0oTngBNJfdXoZr0Mq9Sp3lCnE5NJAKRaNe1KfGTvE1CMpz0KABEJpvXL25HKgvAbZz2nO5QLAK%3D) |
Funció de distribució de probabilitat ![](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO91KgPRoqwSJ2BVMq1BngBFbA9OnO93MqTXKgrCMqiRo29TLq9SKO90MfrToE84bNFBb0nHngBNJh9DngoSK3nZbNaOzpl4bsnHngBNJh9DngoSK3nZbZlSnQ%3D%3D) |
Tipus | Distribució F no central ![Modifica el valor a Wikidata](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO91KgPRoqwSJ2BVMq1BngBFbA9OnO93MqTXKgrCMqiRo29TLq9SKO90MfrToE82bNoNb0hOoAzRLr9OJr9BngB0Mq5ZbZz2nO8Pafl4bshOoAzRLr9OJr9BngB0Mq5ZbZz2nO5QLAK%3D) |
---|
Epònim | Ronald Aylmer Fisher i George Snedecor ![Modifica el valor a Wikidata](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO91KgPRoqwSJ2BVMq1BngBFbA9OnO93MqTXKgrCMqiRo29TLq9SKO90MfrToE82bNoNb0hOoAzRLr9OJr9BngB0Mq5ZbZz2nO8Pafl4bshOoAzRLr9OJr9BngB0Mq5ZbZz2nO5QLAK%3D) |
---|
Paràmetres | d1, d₂ > 0 graus de llibertat |
---|
Suport | ![{\displaystyle x\in (0,+\infty )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OotG0aDo0otaOajK4aNaQyqeQaNoQoDK0yteQzNG1aqi1ygoPzjFF) |
---|
fdp | x>0 |
---|
FD | ![{\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),\quad x\geq 0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AoDC1ajzBzgo2aNvFnArFzNi5aqw5zDsNzAa3zqs3oqoOaNlCo2oQ) |
---|
Esperança matemàtica | , per d₂ > 2 |
---|
Moda | , per d1 > 2 |
---|
Variància | per d₂ > 4 |
---|
Coeficient de simetria | d₂ > 6 |
---|
FGM | No existeix |
---|
EOM | Fisher-F-distribution ![Modifica el valor a Wikidata](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO91KgPRoqwSJ2BVMq1BngBFbA9OnO93MqTXKgrCMqiRo29TLq9SKO90MfrToE82bNoNb0hOoAzRLr9OJr9BngB0Mq5ZbZz2nO8Pafl4bshOoAzRLr9OJr9BngB0Mq5ZbZz2nO5QLAK%3D) |
---|
Mathworld | SnedecorsF-Distribution ![Modifica el valor a Wikidata](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO91KgPRoqwSJ2BVMq1BngBFbA9OnO93MqTXKgrCMqiRo29TLq9SKO90MfrToE82bNoNb0hOoAzRLr9OJr9BngB0Mq5ZbZz2nO8Pafl4bshOoAzRLr9OJr9BngB0Mq5ZbZz2nO5QLAK%3D) |
---|
En Teoria de probabilitat i Estadística, la distribució F és la distribució de probabilitat definida del quocient de dues variables aleatòries independents amb distribucions khi quadrat, cadascuna dividida pel seu nombre de graus de llibertat. També se la coneix com a distribució F de Snedecor (per George Snedecor) o com a distribució F de Fisher-Snedecor. És fonamental en molts contrasts d'hipòtesis, especialment en els de l'Anàlisi de la variància. La referència bàsica d'aquesta pàgina és Johnson et al.[1]
Definició, funció de densitat i funció de distribució[modifica]
Sigui
i
, independents, amb
i
. La variable aleatòria
es diu que segueix una distribució
amb
i
graus de llibertat.. S'escriu
.
La seva funció de densitat és
on
és la funció beta.
La funció de distribució per a
es pot escriure
on
és una funció beta incompleta regularitzada. Per a
,
.
Comentari sobre els graus de llibertat. El cas més habitual d'una distribució
és quan el nombre
de graus de llibertat és un nombre natural i llavors es pot interpretar com la suma dels quadrats de
variables aleatòries normals estàndard independents. Però mitjançant la funció de densitat es pot definir una distribució
que tingui com a graus de llibertat qualsevol nombre real estrictament positiu
, nombre que continua anomenat-se els graus de llibertat de la distribució.[2] En conseqüència, pot definir-se la distribució
amb graus de llibertat qualsevol nombres
.
Càlcul de la funció de densitat
Comencem buscant la funció de densitat de
![{\displaystyle G={\frac {S_{1}}{S_{2}}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82oAw0zjJBotG1yjdDzDe5zjC5oNnAnjm3nto0oNs3nAdBnjaPzjhA)
Amb aquest objectiu, considerarem el canvi
![{\displaystyle (S_{1},S_{2})\mapsto (G,S_{2})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Oote3zqo3aga2zjo5aAhCzAhDzjiPztiQzgiQoNs3zAe3nti2oqa0)
i després buscarem la marginal de
![{\displaystyle G}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AzqoNoNG5aDhFa2eNztdCntw1zjw2oto3yjBEatm0zjs4oNBAytlE)
. Per la independència de
![{\displaystyle S_{1}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81oAo4zgs3nAw0nAe4aDs5otBEaNJAyts2oqnCnDGNnqsOotmOago5)
i
![{\displaystyle S_{2}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PatwNnte4zgw1nDe1o2rAzNK4oqe0yjdBngo2zDi3otsOa2vCnjBA)
, la densitat conjunta del vector
![{\displaystyle (S_{1},S_{2})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80oDGPzga2o2a0zqeOzAsOotsPnjaQoDsNoDK3nDo3zArCzNiQzDmQ)
és el producte de les densitats d'aquestes dues variables:
![{\displaystyle f_{(S_{1},S_{2})}(u,v)=Cu^{d_{1}/2-1}\,v^{d_{2}/2-1}e^{-(u+v)/2},\quad u>0,\,v>0.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83oDvByga0yjmPaDzFnDnEyjm4zjJFzjKPaDaPyjC5ntaNaNG2nje4)
on
![{\displaystyle C={\frac {2^{-(d_{1}+d_{2})/2}}{\Gamma (d_{1}/2)\Gamma (d_{2}/2)}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85aDJBoDdFyjJCaNlFytaPoDrByts3aqdEoDsNyqhEnAhEzgrEagwO)
Considerem l'aplicació
![{\displaystyle h:(0,\infty )^{2}\rightarrow (0,\infty )^{2}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CaNaQzDe2agdFa2ePathAaNwNnDa2agoQnghBoqaOytKPnDzFnqzA)
donada per
![{\displaystyle h(u,v)={\bigg (}{\frac {u}{v}},\,v{\bigg )}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PaAo5aNBDnAs3o2vEztzCajm3zDe3ztGQaAzDoDG4yqeOoqnAztrC)
que és bijectiva. La inversa és
![{\displaystyle g=h^{-1}:(0,\infty )^{2}\rightarrow (0,\infty )^{2}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NntFAa2i2yqdAnAsOaNs1agvAyqhFnjrEo2a1zge5ntC4yqdBnja0)
,
![{\displaystyle g(x,v)=(xv,v).}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BnqaOzqaOaNzCzjBFoAeOoqi5aDa3ztKQajJAo2o3ajaQz2w2ntwQ)
El determinant jacobià de
![{\displaystyle g}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CaNs1zDe4ags2zAnBaAaQnjmPzjlCnDeQyta1otnAajs3aNGPnjK3)
és
![{\displaystyle J_{g}=v}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OnAaNztFBnDnFzgo2ztwOz2wPajGPygi3aqe0ajrCntFCzDzEaDiN)
. Llavors, la funció de densitat de
![{\displaystyle (G,S_{2})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PajC3aNm4nDa4yge5yjzByjvEz2vFaDdCzAiPnja3atnCoNFEoqaN)
(vegeu l'apartat de funcions d'un vector aleatori amb densitat de la pàgina
Vector aleatori) és
![{\displaystyle f_{(G,S_{1})}(x,v)=Cx^{d_{1}/2-1}v^{(d_{1}+d_{2})/2-1}e^{-v(1+x)/2},\quad x>0,\,v>0.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Da2o5zNePytm3otFEyqsOaDGNatCQzjwPzDi5zDiNzgi4yqeQztFD)
Per tant,
![{\displaystyle f_{G}(x)=\int _{0}^{\infty }f_{G,S_{1}}(x,v)\,dv=Cx^{d_{1}/2-1}\int _{0}^{\infty }v^{(d_{1}+d_{2})/2}e^{-v(1+x)/2}\,dv.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DoNCPyqvFoNi1oNs2yjvCoNlDnjGOa2o0zNFCotnCzjaQzNvEytCP)
La integral de la dreta es pot calcular mitjançant la
funció gamma i, canviant
![{\displaystyle C}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80nAa1ztK1aNmQz2zCa2aPyjs3zAo3ytaNnDnAajG5atC2zNaOaje5)
pel seu valor, s'obté
![{\displaystyle f_{G}(x)={\frac {1}{B(d_{1}/2,\,d_{2}/2)}}\,{\frac {x^{d_{1}/2-1}}{(1+x)^{(d_{1}+d_{2})/2}}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80agrCzAaNytG0zDC3oDCQz2zFztaPnDC4ntFBnDlDzDo1oDK3ajzF)
Finalment, per calcular la densitat de
![{\displaystyle X={\frac {d_{2}}{d_{1}}}\,G,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EnDJAzNw4oDnBo2ePyjm4oDJEagi0nqeQaDhDzAvFaNCNajJFz2a0)
s'utilitza que si
![{\displaystyle Y}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85zDhCzDJCzAe0ztvEzgvAaDaQaqhDztKPyjm4ota1aNFEa2i2njzA)
és una variable aleatòria amb funció de densitat
![{\displaystyle f_{Y}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82ntFEa2nBnjs2oNFFnDhAaNG5zDhAzAs0nqaQnjo0nAs1agrDoDvC)
, llavors la densitat de la variable
![{\displaystyle R=aY}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AotaNotK1ote2zgeNztK4otJBnjGOyjwPnqiQntoPotoNztvBoArB)
, amb
![{\displaystyle a>0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PnDa0otGQnqiQatzBnge1zAsNzjlEatC1ztm0aNlFyge2ngnCz2e5)
, és
![{\displaystyle f_{R}(x)={\frac {1}{a}}f_{Y}{\bigg (}{\frac {x}{a}}{\bigg )}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DoDK5zNeQoDzBajCOotoOntm5zga4o2i2zDK2aAdEaAs3aNo4zgiO)
Càlcul de la funció de distribució
Per a
![{\displaystyle x\geq 0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FaDoQygsOoDa5aAeQzNBAzqe3zDzAaDJEnDsOyjGNngdBntzEzDvF)
tenim
![{\displaystyle F(x)={\frac {d_{1}^{d_{1}/2}\,d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,\,d_{2}/2)}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{d_{1}/2-1}}{(d_{1}t+d_{2})^{(d_{1}+d_{2})/2}}}\,dt.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AyjnAoqnFytGPyqrBzNlDoAi4oNrDntw5aNFBaqrFztC2aqwPoAeO)
En aquesta integral es fa el canvi
![{\displaystyle t={\frac {d_{2}}{d_{1}}}\,{\frac {y}{1-y}},}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PaAa1ntK1agsOnqzBzgzBo2oPaqwPots2otJAatsOzti0ztrBotm4)
i s'obté una integral del tipus funció beta.
Funció característica[modifica]
Phillips [3] dona la següent expressió de la funció característica de
:
on
és la funció hipergeomètrica confluent de 2a. classe.[4] Vegeu Johnson et al.[1] per a un desenvolupament en sèrie de la funció característica.
Sigui
. Llavors
té moment d'ordre
si i només si
. En aquest cas,
En particular, si
, llavors
te esperança i val
Si
,
te moment de 2n ordre
i
Prova
Atès que
![{\displaystyle S_{1}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81oAo4zgs3nAw0nAe4aDs5otBEaNJAyts2oqnCnDGNnqsOotmOago5)
i
![{\displaystyle S_{2}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PatwNnte4zgw1nDe1o2rAzNK4oqe0yjdBngo2zDi3otsOa2vCnjBA)
són positives i independents, tenim que
D'una banda, per les propietats de les distribucions khi quadrat,
D'altra banda,
La integral de la dreta és del tipus funció Gamma, i llavors, si
, tenim que
Si
, aleshores la integral val infinit.
Quan
![{\displaystyle n<d_{2}/2}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OzDJAzjsOoDm5nji0otCOo2eQaNCOzqa4aqnAztG4ygdAygw4aNBD)
ajuntant (1) i (2) s'obté el resultat.
on
és la funció digamma. Vegeu Lazo and Rathie.[5]
- ↑ 1,0 1,1 Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy. «Chap. 27». A: Continuous univariate distributions. 2. 2. ed. Nova York: Wiley, 1995. ISBN 978-0-471-58494-0.
- ↑ Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. Continuous Univariate Distributions, Volume 1. 2a edició. Nova York: Wiley, 1994, p. 417. ISBN 0-471-58495-9.
- ↑ Phillips, P. C. B. (1982) "The true characteristic function of the F distribution," Biometrika, 69: 261–264 JSTOR 2335882
- ↑ National Institute of Standards and Technology. «Formula 13.4.4». A: Olver, F. W., Lozier, D., Boisvert R., Clark, C. W.. NIST handbook of mathematical functions. Cambridge New York Melbourne: Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0-521-14063-8.
- ↑ Lazo, A.V.; Rathie, P. «On the entropy of continuous probability distributions». IEEE Transactions on Information Theory. IEEE, 24, 1978, pàg. 120–122. DOI: 10.1109/tit.1978.1055832.
|
---|
|
Distribucions discretes amb suport finit | |
---|
Distribucions discretes amb suport infinit | |
---|
Distribucions contínues suportades sobre un interval acotat | |
---|
Distribucions contínues suportades sobre un interval semi-infinit | |
---|
Distribucions contínues suportades en tota la recta real | |
---|
Distribucions contínues amb el suport de varis tipus | |
---|
Barreja de distribució variable-contínua | |
---|
Distribució conjunta | |
---|
Direccionals | |
---|
Degenerada i singular | |
---|
Famílies | |
---|