Una forma quadràtica (real) és un polinomi homogeni de grau dos que involucra
variables
:
![{\displaystyle Q(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}A_{i\,j}\,x_{i}\,x_{j},}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CzNFCaNrDa2zBoDG5ajsQzArFaNaQatG1nAw3nAvFoqhBothCoqzD)
on
.
Les formes quadràtiques d'una, dues i tres variables són:
![{\displaystyle Q(x)=ax^{2},}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BnjvEzNzEaDC5ztFEnjhAyts4yqaPnDrFzNzCyjm1oNlAoNG4oNe2)
![{\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85zNeOo2iPztBBzDC5ntzAyjdBaNFAyjvEyjG0z2e0aAvCaqhBato2)
![{\displaystyle Q(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FzjJDotzDajhCntJCaqrDaNnBzNwPnAe4z2w0nqzCajlAygrCaNK0)
Per exemple, la distància entre dos punts en l'espai euclidià es troba amb l'arrel quadrada d'una forma quadràtica que conté sis variables: les tres coordenades espacials dels dos punts:
![{\displaystyle d^{2}(p,q)=(x_{p}-x_{q})^{2}+(y_{p}-y_{q})^{2}+(z_{p}-z_{q})^{2}=x_{p}^{2}+x_{q}^{2}-2x_{p}x_{q}+y_{p}^{2}+y_{q}^{2}-2y_{p}y_{q}+z_{p}^{2}+z_{q}^{2}-2z_{p}z_{q}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QatKQatFCztsNotmPaAzAytK4ytK4oNGQz2a0oDlBnqi2aNGPnjvF)
Seguint els convenis de l'Àlgebra lineal, escriurem els vectors en columna:
, on
és la transposada de la matriu o del vector
. Considerem la matriu
Aleshores, la forma quadràtica s'escriu
Definim la matriu
Aquesta matriu és simètrica i es compleix que
Per tant, sense pèrdua de generalitat, en moltes situacions es pot suposar que la matriu associada a una forma quadràtica (real) és simètrica.
Per veure la definició de formes quadràtiques en situacions més generals, vegeu, per exemple Queysanne (1971:cap. 15).
Queysanne, Michel. Álgebra básica. Barcelona: Vicens-Vives, 1971. ISBN 84-316-1360-2.