Vés al contingut

Nombre vampir

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En matemàtiques, i concretament en teoria de nombres, un nombre vampir V és un nombre natural compost amb un nombre parell n de xifres i que es pot escriure com a producte de dos nombres naturals x i y (cadascun amb n/2 xifres, i no poden acabar tots dos amb zero) de manera que V conté totes les xifres de x i y, sigui de forma ordenada o no. Els nombres x i y s'anomenen els ullals del vampir.

Per exemple: 1260 = 21 × 60, per tant 1260 és un nombre vampir, i 21 i 60 en són els ullals. Tanmateix, 126000 (que es pot expressar com a 21 × 6000 o 210 × 600) no ho és, ja que 21 i 6000 no tenen el nombre de dígits correcte, i tant 210 com 600 tenen zeros finals. De la mateixa manera, 1023 (que es pot expressar com a 31 × 33) no ho és, perquè tot i que 1023 conté tots els dígits de 31 i 33, els quatre dígits del parell (3133) no són una permutació dels dígits del nombre original.

La seqüència ordenada de nombres vampir es pot consultar a l'OEIS A014575

Els primers nombres vampir van aparèixer l'any 1994 en un missatge de Clifford A. Pickover al grup sci.math de Usenet,[1] i l'article que va escriure més tard es va publicar al capítol 30 del seu llibre Keys to Infinity.[2]

S'han trobat nombres vampir múltiples, per exemple 24959017348650 és el primer nombre que té fins a cinc parells d'ullals vàlids.[3]

Matrius vampíriques

[modifica]

La idea dels nombres vampir es pot expandir a matrius emprant el producte matricial.

Per exemple:

Tal com es pot observar a l'exemple, una manera d'obtenir aquest tipus de matrius en què les dues matrius ullal són iguals és buscant els casos en què es compleix la fórmula:

on és el nombre necessari per passar un nombre a la seva forma duplicada: 11, 101, 1001... (és a dir 10n+1, on n és el nombre de xifres).

Exemple:

Les solucions a aquesta funció es poden trobar utilitzant el polinomi característic de la matriu, amb el teorema de Cayley–Hamilton . Concretament, la matriu és vampírica si el determinant és 0 i la suma de la diagonal principal () és . Per tant, és vàlid per a qualsevol matriu que compleix:

i tots quatre components de la matriu són nombres naturals amb n xifres.

La definició es pot generalitzar per matrius amb més de dos ullals, o per matrius quadrades de més dimensions, emprant el producte matricial de la mateixa manera.

Variants

[modifica]

Els nombres pseudovampir són similars als nombres vampir, excepte que els ullals d'un nombre pseudovampir amb n dígits no han de tenir n/2 dígits. Per tant, els nombres pseudovampir poden tenir un nombre senar de dígits, per exemple 126 = 6 × 21. Més generalment, es permeten més de dos ullals, per exemple 1395 = 5 × 9 × 31. Emprant aquesta descripció menys estricta, els nombres pseudovampir són tots els nombres n que es poden factoritzar utilitzant els dígits de n.

Podeu veure la seqüència de nombres pseudovampir a l'OEIS A020342

Un nombre vampir primer és un nombre vampir que els seus ullals són els seus factors primers.[4]

Un nombre vampir doble és aquell que els seus ullals també són nombres vampir.

Finalment, el concepte de nombre vampir també es pot expandir a nombres vampir de base b, o fins i tot fent servir altres sistemes de numeració, com en el cas dels nombres romans: II × IV = VIII

Referències

[modifica]
  1. Missatge original[Enllaç no actiu] de Pickover descrivint els nombres vampir [Consulta: 23 gener 2021].
  2. Pickover, Clifford A. Keys to Infinity. Wiley, 1995. ISBN 0-471-19334-8. 
  3. Anderson, J. K. «Vampire numbers». Arxivat de l'original el 10 agost 2007. [Consulta: 23 gener 2021].
  4. Carlos Rivera. The Prime-Vampire numbers (anglès) [Consulta: 23 gener 2021].

Enllaços externs

[modifica]