Wikipedista:Zagothal/Pískoviště

Vícerozměrný integrál je a určitý integrál reálné funkce více proměnných na dané množině. Zapisuje se $\int \cdots \int _{\mathbf {M} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}$, kde funkce $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ se nazývá integrand a $\mathbf {M}$ je vhodná množina. Tento zápis se často zkracuje na $\int _{\mathbf {M} }\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} .$

Vícerozměrný integrál je různý pojem od vícenásobný integrál, tedy od postupné integrace po složkách, neboť vícenásobné integrály mohou existovat i pro neintegrovatelné funkce.

Vícerozměrný integrál se často vyčísluje pomocí Fubiniovy věty a substituce souřadnic.

Definice

Motivace

Dvojný integrál jako objem pod plochou.

Často je nutno udělat součet hodnot nějaké funkce na vícerozměrné množině. Například objem nějakého tělesa, hmotnost tělesa s nekonstantní hustotou, energii nějakého pole. Takovým součtem je právě vícerozměrný integrál.

Dvojný integrál na obdélníku

Pro $n>1$ mějme funkci $f:\mathbf {I} =\left\langle a_{1},b_{1}\right\rangle \times \left\langle a_{2},b_{2}\right\rangle \times \cdots \times \left\langle a_{n},b_{n}\right\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}.$.

Rozdělíme-li každý z intervalů $\left\langle a_{i},b_{i}\right\rangle$ na konečnou množinu disjunktních podintervalů $\left\langle a_{i,j},b_{i,j}\right\rangle$, získáme dělení n-rozměrného intervalu na systém intervalů $\mathbf {I} _{j}=\left\langle a_{1,j},b_{1,j}\right\rangle \times \left\langle a_{2,j},b_{2,j}\right\rangle \times \cdots \times \left\langle a_{n,j},b_{n,j}\right\rangle$, pro které platí $I=I_{1}\cup I_{2}\cup \cdots \cup I_{m}$.

(n+1)-rozměrný objem pod n-rozměrnou plochou (grafem funkce $f$) na intervalu $I\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ můžeme aproximovat Riemannovým součtemː

$\sum _{k=1}^{m}f(X_{k})\,\operatorname {\sigma } (I_{k})$,

kdeX_k is a point in I_k and σ(I_k) je míra intervalu I_k (tedy součin délek jednotlivých jednorozměrných intervalů $\left\langle a_{i},b_{i}\right\rangle$) .

Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná, jestliže existuje konečná limita přes všechny možné dělení intervalu I na intervaly míry maximálně δ:

$\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(X_{k})\,\operatorname {\sigma } (C_{k})$.

If f is Riemann integrable, S is called the Riemann integral of f over T and is denoted

$\int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}$

The Riemann integral of a function defined over an arbitrary bounded n-dimensional set can be defined by extending that function to a function defined over a half-open rectangle whose values are zero outside the domain of the original function. Then the integral of the original function over the original domain is defined to be the integral of the extended function over its rectangular domain, if it exists.

In what follows the Riemann integral in n dimensions will be called the multiple integral.

Na měřitelné množině

Buď funkce $f$ omezená na neprázdné měřitelné množině $\mathbf {M} \subseteq \mathbb {R} ^{2}$. Řekneme, že funkce $f$ je na množině $\mathbf {M}$ (Riemannovsky) integrovatelná, je-li funkce $\mathbf {M} \cdot \chi _{\mathbf {M} }$ definovaná předpisem $\left(\mathbf {M} \cdot \chi _{\mathbf {M} }\right)\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)={\begin{cases}f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right),&{\mbox{pro }}x\in \mathbf {M} \\0,&{\mbox{pro }}x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbf {M} \end{cases}}$ integrovatelná na nějakém uzavřeném intervalu $\mathbf {J} \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ takovém, že $\mathbf {M} \subseteq \mathbf {J}$.

Vícenásobným (Riemannovým) integrálem funkce $f$ na množině $\mathbf {M}$ pak rozumíme číslo $\int \cdots \int _{\mathbf {M} }\,f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}=\int \cdots \int _{\mathbf {J} }\,\left(\mathbf {M} \cdot \chi _{\mathbf {M} }\right)f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}$.

Pro prázdnou množinu definujeme $\int \cdots \int _{\emptyset }\,f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}=0$ pro každou funkci $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$.

Speciální případy

V případě, že $M\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, tak $\iint _{M}f(x,y)\,dx\,dy$ se nazývá dvojný integrál funkce f na M, dále pro $M\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ je $\iiint _{M}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$ trojný integrál funkce f na M.

Související články

• parciální derivace
• diferenciál
• vícenásobný integrál