V lineární algebře je Frobeniův skalární součin definován na vektorovém prostoru reálných nebo komplexních matic. Vypočítá se součinem prvků dvou matic po složkách a následným součtem všech dílčích součinů. V komplexním případě je jeden prvek vždy komplexně sdružený. Frobeniův skalární součin lze také vypočítat jako stopu maticového součinu dvou matic, přičemž jedna z matic je transponovaná, případně hermitovsky transponovaná.
Pomocí Frobeniova skalárního součinu se z prostoru matic stane unitární prostor, dokonce Hilbertův prostor. Norma odvozená z Frobeniova skalárního součinu se nazývá Frobeniova norma. Zobecněním Frobeniova skalárního součinu na nekonečně rozměrné vektorové prostory je Hilbertův-Schmidtův skalární součin. Frobeniův skalární součin se používá mimo jiné v mechanice kontinua při tenzorovém popisu deformace vektorových polí. Je pojmenován po německém matematikovi Ferdinandu Georgu Frobeniovi.
Frobeniův skalární součin dvou reálných, ne nutně čtvercových, matic
a
je definován výrazem:
![{\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QatvBnjs5aDC3zqi1nDa5ata4ztK4oAo3aAi2oNKPa2rEaNrDoto4)
Jinými slovy, Frobeniův skalární součin získáme ze součinů odpovídajících složek obou daných matic a následným součtem všech těchto dílčích součinů. Odpovídá standardnímu skalárnímu součinu, pokud matice chápeme jako vektory dimenze
. Frobeniův skalární součin dvou jednosloupcových matic jmenovitě odpovídá standardnímu skalárnímu součinu dvou vektorů.
Frobeniův skalární součin dvou komplexních matic
a
je dán výrazem:
![{\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\overline {b_{ij}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OaArBoDo2njzFoqhCotJFaqhDzNK3nghFzAsOajmQo2dCzDrBajaQ)
Pruh značí komplexně sdružené číslo.
Lze se setkat i s definicí používající komplexně sdružená čísla pro prvky první matice, čili
![{\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}{\overline {a_{ij}}}b_{ij}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83atdEzNG1z2o4ajrEaDs1a2a0yti3a2e5zDGOyjnCzte2nAs0zjCP)
ovšem takto definovaný součin není lineární vůči skalárním násobkům v první složce, ale ve druhé.
Ve fyzice se Frobeniův skalární součin dvou matic
a
někdy zapisuje
.
Jsou-li
a
reálné matice, pak je Frobeniův skalární součin součtem prvků Hadamardova součinu.
Jsou-li matice vektorizovány (tj. převedeny na sloupcové vektory, označené "
"), pak pro
a
platí
![{\displaystyle (\operatorname {vec} {\boldsymbol {A}})^{\mathrm {T} }{\overline {\operatorname {vec} {\boldsymbol {B}}}}=(a_{11},a_{12},\ldots ,a_{21},a_{22},\ldots ,a_{nm}){\begin{pmatrix}{\overline {b_{11}}}\\{\overline {b_{12}}}\\\ \vdots \\{\overline {b_{21}}}\\{\overline {b_{22}}}\\\vdots \\{\overline {b_{nm}}}\end{pmatrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85oqe4yge2nge4oqiNajK4njwQzthCzqhBnjs1oAaNyjmOoDvEzAaN)
Odtud plyne přímo
.
Frobeniova norma je norma přidružená k Frobeniovu skalárnímu součinu, neboli:
![{\displaystyle \|{\boldsymbol {A}}\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EnqvDaDwQoqvFntBEytoNajlBnqw0oNePagoOo2eOnDdFyqa5ntC4)
Frobeniův skalární součin dvou reálných matic typu
a ![{\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}8&-3&2\\4&1&-5\end{pmatrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Azge4oqePzjlEzjnBaDaQzga4zgnCo2vEo2sQa2dEaDo5oNwQzNeP)
je roven
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }&=2\cdot 8+0\cdot (-3)+6\cdot 2+1\cdot 4+(-1)\cdot 1+2\cdot (-5)\\&=21\end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81oDmNo2dBntmQaAzFzNm3oDsQaqoOo2eNoqePnDsNzAaOzAiNaAaO)
Pro dvě čtvercové komplexní matice řádu
a ![{\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}-2&3\mathrm {i} \\4-3\mathrm {i} &6\end{pmatrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84aNK5nqw5oAo5yqePatG2yjCOzNKPnAw4yqe2oDGQyqw5nAi5yteQ)
platí
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }&=(1+\mathrm {i} )\cdot (-2)+(-2\mathrm {i} )\cdot (-3\mathrm {i} )+3\cdot (4+3\mathrm {i} )+(-5)\cdot 6\\&=-26+7\mathrm {i} \end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nDm3a2s0zDa4aqi0otwQzDK3ate1a2s3oAiPz2dCaDo4aNe4zDrC)
zatímco
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }&=(-2)\cdot (1-\mathrm {i} )+3\mathrm {i} \cdot 2\mathrm {i} +(4-3\mathrm {i} )\cdot 3+6\cdot (-5)\\&=-26-7\mathrm {i} \end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83nAe5yjGQzDvAa2iPnjlDa2o3nts0aNKOnqnDajw0zNa4zqsQz2zA)
Frobeniův skalární součin matice
se sebou samou a součin
se sebou samou jsou
a
.
Komplexní Frobeniův skalární součin je seskvilineární forma, neboli lineární v prvním argumentu:
a ![{\displaystyle \langle c{\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=c\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Dagw0aDo0ngi3yqoNz2eNoqo3ytzCoAnFatC2aqvFage2yjwOaNlF)
a také semilineární v druhém argumentu, tedy.
a
.
Dále je hermitovská forma, neboli
,
a také pozitivně definitní:
a
.
Uvedené vlastnosti vyplývají přímo z komutativních a distributivních zákonů sčítání a násobení a z pozitivní definitnosti komplexní absolutní hodnoty
.
Z komplexního případu bezprostředně plyne reálný případ, protože na
se každé číslo shoduje se svým komplexně sdruženým protějškem.
Reálný Frobeniův skalární součin má následující reprezentaci pomocí stopy matice
,
kde
je matice transponovaná k
. Odpovídajícím způsobem platí pro komplexní Frobeniův skalární součin vztah:
,
kde
je hermitovská transpozice matice
.
Reálný Frobeniův skalární součin má následující vlastnost pro všechny
a
:
.
Odpovídajícím způsobem platí pro komplexní Frobeniův skalární součin pro všechny
a
:
.
Obě vlastnosti vyplývají ze zachování stopy vzhledem k cyklickým permutacím součinu matic.
Vzhledem ke stopové reprezentaci a vlastnosti posunutí platí následující pro reálný Frobeniův skalární součin dvou matic
.
Pro komplexní Frobeniův skalární součin dvou matic
platí obdobně následující.
.
Frobeniova norma je invariantní při unitárních transformacích a platí pro ni Cauchyho-Schwarzova nerovnost.
.
Z nerovnosti vyplývá odhad
.
V případě reálných matic je hermitovská transpozice nahrazena prostou transpozicí.
Jsou-li
singulární hodnoty
a
singulární hodnoty
s
, pak pro Frobeniův skalární součin platí odhad
,
Uvedený odhad zesiluje Cauchyho-Schwarzovu nerovnost.[1]
V tomto článku byly použity překlady textů z článků Frobenius-Skalarproduct na německé Wikipedii a Frobenius inner product na anglické Wikipedii.
- ↑ Horn, Johnson. [s.l.]: [s.n.] S. 186.