Přeskočit na obsah

Frobeniův skalární součin

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V lineární algebře je Frobeniův skalární součin definován na vektorovém prostoru reálných nebo komplexních matic. Vypočítá se součinem prvků dvou matic po složkách a následným součtem všech dílčích součinů. V komplexním případě je jeden prvek vždy komplexně sdružený. Frobeniův skalární součin lze také vypočítat jako stopu maticového součinu dvou matic, přičemž jedna z matic je transponovaná, případně hermitovsky transponovaná.

Pomocí Frobeniova skalárního součinu se z prostoru matic stane unitární prostor, dokonce Hilbertův prostor. Norma odvozená z Frobeniova skalárního součinu se nazývá Frobeniova norma. Zobecněním Frobeniova skalárního součinu na nekonečně rozměrné vektorové prostory je Hilbertův-Schmidtův skalární součin. Frobeniův skalární součin se používá mimo jiné v mechanice kontinua při tenzorovém popisu deformace vektorových polí. Je pojmenován po německém matematikovi Ferdinandu Georgu Frobeniovi.

Definice a značení

[editovat | editovat zdroj]

Frobeniův skalární součin dvou reálných, ne nutně čtvercových, matic a je definován výrazem:

Jinými slovy, Frobeniův skalární součin získáme ze součinů odpovídajících složek obou daných matic a následným součtem všech těchto dílčích součinů. Odpovídá standardnímu skalárnímu součinu, pokud matice chápeme jako vektory dimenze . Frobeniův skalární součin dvou jednosloupcových matic jmenovitě odpovídá standardnímu skalárnímu součinu dvou vektorů.

Frobeniův skalární součin dvou komplexních matic a je dán výrazem:

Pruh značí komplexně sdružené číslo.

Lze se setkat i s definicí používající komplexně sdružená čísla pro prvky první matice, čili

ovšem takto definovaný součin není lineární vůči skalárním násobkům v první složce, ale ve druhé.

Ve fyzice se Frobeniův skalární součin dvou matic a někdy zapisuje .

Vztak k Hadamardovu součinu

[editovat | editovat zdroj]

Jsou-li a reálné matice, pak je Frobeniův skalární součin součtem prvků Hadamardova součinu.

Jsou-li matice vektorizovány (tj. převedeny na sloupcové vektory, označené ""), pak pro

a platí

Odtud plyne přímo .

Frobeniova norma

[editovat | editovat zdroj]

Frobeniova norma je norma přidružená k Frobeniovu skalárnímu součinu, neboli:

Reálné matice

[editovat | editovat zdroj]

Frobeniův skalární součin dvou reálných matic typu

a

je roven

Komplexní matice

[editovat | editovat zdroj]

Pro dvě čtvercové komplexní matice řádu

a

platí

zatímco

Frobeniův skalární součin matice se sebou samou a součin se sebou samou jsou

a .

Vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]

Komplexní Frobeniův skalární součin je seskvilineární forma, neboli lineární v prvním argumentu:

  a  

a také semilineární v druhém argumentu, tedy.

  a   .

Dále je hermitovská forma, neboli

,

a také pozitivně definitní:

  a   .

Uvedené vlastnosti vyplývají přímo z komutativních a distributivních zákonů sčítání a násobení a z pozitivní definitnosti komplexní absolutní hodnoty .

Z komplexního případu bezprostředně plyne reálný případ, protože na se každé číslo shoduje se svým komplexně sdruženým protějškem.

Reprezentace pomocí stopy

[editovat | editovat zdroj]

Reálný Frobeniův skalární součin má následující reprezentaci pomocí stopy matice

,

kde je matice transponovaná k . Odpovídajícím způsobem platí pro komplexní Frobeniův skalární součin vztah:

,

kde je hermitovská transpozice matice .

Přesun mezi argumenty

[editovat | editovat zdroj]

Reálný Frobeniův skalární součin má následující vlastnost pro všechny a :

.

Odpovídajícím způsobem platí pro komplexní Frobeniův skalární součin pro všechny a :

.

Obě vlastnosti vyplývají ze zachování stopy vzhledem k cyklickým permutacím součinu matic.

Invariance

[editovat | editovat zdroj]

Vzhledem ke stopové reprezentaci a vlastnosti posunutí platí následující pro reálný Frobeniův skalární součin dvou matic

.

Pro komplexní Frobeniův skalární součin dvou matic platí obdobně následující.

.

Vlastnosti Frobeniovy normy

[editovat | editovat zdroj]

Frobeniova norma je invariantní při unitárních transformacích a platí pro ni Cauchyho-Schwarzova nerovnost.

.

Z nerovnosti vyplývá odhad

.

V případě reálných matic je hermitovská transpozice nahrazena prostou transpozicí.

Odhad přes singulární hodnoty

[editovat | editovat zdroj]

Jsou-li singulární hodnoty a singulární hodnoty s , pak pro Frobeniův skalární součin platí odhad

,

Uvedený odhad zesiluje Cauchyho-Schwarzovu nerovnost.[1]

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Frobenius-Skalarproduct na německé Wikipedii a Frobenius inner product na anglické Wikipedii.

  1. Horn, Johnson. [s.l.]: [s.n.] S. 186. 

Literatura

[editovat | editovat zdroj]
  • BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 

Související články

[editovat | editovat zdroj]