In der Mathematik fasst man häufig mehrere Indizes zu einem einzigen Multiindex zusammen. Formal gesehen ist ein Multiindex ein Tupel natürlicher Zahlen.

Verallgemeinert man Formeln von einer Variable auf mehrere Variablen, so ist es aus notationstechnischen Gründen meist sinnvoll, die Multiindexschreibweise zu verwenden. Ein Beispiel wäre, eine Potenzreihe mit einer Veränderlichen auf Mehrfachpotenzreihen umzuschreiben. Multiindizes werden häufig in der mehrdimensionalen Analysis und Theorie der Distributionen verwendet.

Konventionen der Multiindex-Schreibweise

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In diesem Abschnitt seien   jeweils  -Tupel natürlicher Zahlen. Für die Multiindex-Schreibweise werden üblicherweise die folgenden Konventionen vereinbart:

 

wobei   und   einen Differentialoperator bezeichnet.

Anwendungsbeispiele

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Eine Mehrfachpotenzreihe   lässt sich kurz schreiben als  .

Ist   und sind  , so gilt   und  .

Für   gilt  , wobei   ist.

Sind   und ist  , so gilt   bzw.  .

Für   und   ist   bzw.  , was sich kurz schreiben lässt als  .

Leibniz-Regel

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Ist   und sind   m-mal stetig differenzierbare Funktionen, so gilt

 

beziehungsweise

 .

Diese Identität heißt Leibniz-Regel.

Und sind   m-mal stetig differenzierbare Funktionen, so ist

 ,

wobei   ist.

Für Mehrfachpotenzreihen   gilt  .

Sind   Potenzreihen einer Veränderlichen, so gilt  , wobei   ist.

Für   gilt  .

Sind   und sind alle Komponenten von   betragsmäßig  , so gilt  .

Ist   und sind  , so gilt  .

Ist   und  , so gilt  .

Cauchysche Integralformel

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In mehreren Veränderlichen   lässt sich die cauchysche Integralformel

 

kurz schreiben als

 ,

wobei   sein soll. Ebenso gilt die Abschätzung  , wobei   ist.

Taylor-Reihe

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Ist   eine analytische Funktion oder   eine holomorphe Abbildung, so kann man   mit Hilfe eines Entwicklungspunktes   oder   in einer Taylorreihe

 

darstellen.

Hurwitz-Identität

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Für   mit   und   gilt  .

Dies verallgemeinert die Abelsche Identität  .

Letztere erhält man im Fall  .

Literatur

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  • Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
  • Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.