Sinus und Kosinus

trigonometrische Funktionen

Sinus- und Kosinusfunktion (andere Schreibweise: Cosinusfunktion) sind elementare mathematische Funktionen. Vor Tangens und Kotangens sowie Sekans und Kosekans sind sie die wichtigsten trigonometrischen Funktionen. Sinus und Kosinus werden unter anderem in der Geometrie für Dreiecksberechnungen in der ebenen und sphärischen Trigonometrie benötigt. Auch in der Analysis sind sie wichtig.

Graphen der Sinusfunktion (rot) und der Kosinusfunktion (blau). Beide Funktionen haben eine kleinste positive Periode von und nehmen jeweils alle Werte von −1 bis 1 an.

Wellen wie Schallwellen, Wasserwellen und elektromagnetische Wellen lassen sich als Zusammensetzung aus Sinus- und Kosinuswellen beschreiben, sodass die Funktionen auch in der Physik als harmonische Schwingungen allgegenwärtig sind.

Herkunft des Namens

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Die lateinische Bezeichnung Sinus „Bogen, Krümmung, Busen“ für diesen mathematischen Begriff wählte Gerhard von Cremona 1175[1] als Übersetzung der arabischen Bezeichnung dschaib oder dschība / جيب / ‚Tasche, Kleiderfalte‘, selbst entlehnt von Sanskrit jiva „Bogensehne“ indischer Mathematiker.

Die Bezeichnung „Cosinus“ ergibt sich aus complementi sinus, also Sinus des Komplementärwinkels. Diese Bezeichnung wurde zuerst in den umfangreichen trigonometrischen Tabellen verwendet, die von Georg von Peuerbach und seinem Schüler Regiomontanus erstellt wurden.[2]

Geometrische Definition

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Definition am rechtwinkligen Dreieck

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Dreieck mit den Punkten A, B, C und den bzw. gegenüberliegenden Seiten a, b, c
 
Dreieck ABC mit einem rechten Winkel   in C (Benennung von An- und Gegenkathete unter der Annahme, dass sich diese Begriffe auf den Winkel   beziehen)

Alle ebenen, zueinander ähnlichen Dreiecke haben gleiche Winkel und gleiche Längenverhältnisse der Seiten.

Diese Eigenschaft wird benutzt, um Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck durchzuführen. Sind nämlich die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck bekannt, lassen sich die Maße von Winkeln und die Längen von Seiten berechnen. Deshalb haben die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck auch besondere Namen.

Die Längenverhältnisse der drei Seiten im rechtwinkligen Dreieck sind nur vom Maß eines der beiden spitzen Winkel abhängig. Denn die Innenwinkelsumme in jedem Dreieck beträgt 180°. Und weil im rechtwinkligen Dreieck ein Winkel, nämlich der rechte Winkel, mit 90° bekannt ist, müssen die beiden anderen Winkel in der Summe ebenfalls 90° ergeben. Deswegen wird das Maß eines dieser Winkel durch das Maß des anderen Winkels bereits festgelegt. Aufgrund der Kongruenzsätze (z. B. WSW) hängen die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck nur noch vom Maß eines der beiden spitzen Winkel ab.

Deshalb werden die Längenverhältnisse in Abhängigkeit eines der beiden spitzen Winkel wie folgt definiert:

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete (Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt) zur Länge der Hypotenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel).

 

Der Kosinus ist das Verhältnis der Länge der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet) zur Länge der Hypotenuse.

 

Bei den für Dreiecke üblichen Bezeichnungen der Größen (siehe Abbildung) gilt hier:

 

Da die Hypotenuse die längste Seite eines Dreiecks ist (denn sie liegt dem größten Winkel, also dem rechten Winkel, gegenüber), gelten die Ungleichungen   und  .

Wird statt von α von dem gegenüberliegenden Winkel β ausgegangen, so wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von α wird zur Gegenkathete von β, die Gegenkathete von α bildet nun die Ankathete von β und es gilt:

 
 

Da im rechtwinkligen Dreieck   gilt, folgt:

 

und

 

Auf dieser Beziehung beruht auch die Bezeichnung Kosinus als Sinus des Komplementärwinkels.

Aus dem Satz des Pythagoras lässt sich die Beziehung („trigonometrischer Pythagoras“) ableiten:

 

Im rechtwinkligen Dreieck sind Sinus und Kosinus nur für Winkel zwischen 0 und 90 Grad definiert. Für beliebige Winkel wird der Wert der Kosinusfunktion als  -Koordinate und der Wert der Sinusfunktion als  -Koordinate eines Punktes am Einheitskreis (siehe unten) definiert. Hier ist es üblich, den Wert, auf den die Funktion angewendet wird (hier: den Winkel), als Argument zu bezeichnen. Dies betrifft insbesondere die Winkelfunktionen und die komplexe Exponentialfunktion (siehe unten).

Definition am Einheitskreis

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Definition des Sinus und Kosinus am Einheitskreis
 
Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis im ersten Quadranten

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel zwischen Hypotenuse und Kathete nur für Werte von 0 bis 90 Grad definiert. Für eine allgemeine Definition wird ein Punkt   mit den Koordinaten   auf dem Einheitskreis betrachtet, hier gilt  . Die positive  -Achse schließt mit dem Ortsvektor von   einen Winkel   ein. Der Koordinatenursprung  , der Punkt   auf der  -Achse und der Punkt   bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Hypotenuse beträgt  . Die Ankathete des Winkels   ist die Strecke zwischen   und   und hat die Länge  . Es gilt:

 

Die Gegenkathete des Winkels   ist die Strecke zwischen   und   und hat die Länge  . Somit gilt:

 

Wegen des Strahlensatzes ist die folgende Definition des Tangens wohldefiniert:

 

Die  -Koordinate eines Punktes im ersten Quadranten des Einheitskreises ist also der Kosinus des Winkels zwischen seinem Ortsvektor und der  -Achse, während die  -Koordinate der Sinus dieses Winkels ist. Die Fortsetzung über den ersten Quadranten hinaus ergibt eine Definition von Sinus und Kosinus für beliebige Winkel.

Die Umkehrungen der Sinus- und Kosinusfunktion sind nicht eindeutig. Zu jeder Zahl   zwischen −1 und 1 ( ) gibt es schon zwischen 0° und 360° ( ) immer genau zwei Winkel. Symmetrien der Winkelfunktionen erkennt man an folgenden Beziehungen:

Punktsymmetrien:

 
 

Achsensymmetrien:

 
 

Der Sinus ist also eine ungerade Funktion, der Kosinus eine gerade.

Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen mit der Periode 360 Grad. (Man kann einen Winkel von beispielsweise 365° nicht von einem Winkel von 5° unterscheiden. Aber der eine beschreibt eine Drehbewegung von reichlich einer Umdrehung, der andere eine sehr kleine Drehbewegung ‒ nur eine zweiundsiebzigstel Umdrehung.) Also gilt auch

 

sowie

 ,

wobei   eine beliebige ganze Zahl ist. Es gibt also nicht nur die Symmetrien zu   (cos) bzw.   (sin) und zu   (sin) bzw.   (cos), sondern unendlich viele Symmetrieachsen und Symmetriezentren für beide Funktionen.

Die Entstehung der Sinus- und Kosinusfunktion aus der Drehbewegung eines Winkelschenkels beginnend bei der  -Achse veranschaulicht folgende Animation. Der Winkel wird im Bogenmaß gemessen. Ein Winkel von   entspricht einem Bogenmaß von  .

 
Animation zur Konstruktion der Sinus- und Kosinusfunktion

Analytische Definition

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Graph der Sinusfunktion  
 
Graph der Kosinusfunktion  

Sinus und Kosinus können auch auf einer axiomatischen Basis behandelt werden; dieser formalere Zugang spielt auch in der Analysis eine Rolle. Die analytische Definition erlaubt zusätzlich die Erweiterung auf komplexe Argumente. Sinus und Kosinus als komplexwertige Funktion aufgefasst sind holomorph und surjektiv.

Motivation durch Taylorreihen

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  zusammen mit den ersten Taylorpolynomen  
 
Diese Animation illustriert die Definition der Sinusfunktion durch eine Reihe. Je größer die Zahl   ist, desto mehr Summanden werden in der Reihendefinition verwendet. So ist bei   neben der Sinusfunktion zusätzlich das kubische Polynom   eingezeichnet.

Sinus und Kosinus sind als Funktionen von   nach   erklärt. Sie sind beliebig oft differenzierbar. Für die Ableitungen im Nullpunkt gilt:

 
 

Die sich daraus ergebenden Taylorreihen stellen die Funktionen   und   dar, das heißt:

 
 

Reihenentwicklung in der Analysis

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In der Analysis geht man umgekehrt von den Reihenentwicklungen aus und leitet daraus alles her, indem die Funktionen sin und cos durch die oben angegebenen Potenzreihen erklärt werden. Mit dem Quotientenkriterium lässt sich zeigen, dass diese Potenzreihen für jede komplexe Zahl   absolut und in jeder beschränkten Teilmenge der komplexen Zahlen gleichmäßig konvergieren. Diese unendlichen Reihen verallgemeinern die Definition des Sinus und des Kosinus von reellen auf komplexe Argumente. Auch   wird dort üblicherweise nicht geometrisch, sondern beispielsweise über die cos-Reihe und die Beziehung   als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle der Kosinusfunktion definiert. Damit ist eine präzise analytische Definition von   gegeben.

Für kleine Werte zeigen diese Reihen ein sehr gutes Konvergenzverhalten. Zur numerischen Berechnung lassen sich daher die Periodizität und Symmetrie der Funktionen ausnutzen und der  -Wert bis auf den Bereich   bis   reduzieren. Danach sind je nach geforderter Genauigkeit nur noch relativ wenige Glieder der Reihe zu berechnen. Das Taylorpolynom der Kosinusfunktion bis zur vierten Potenz z. B. hat im Intervall   einen relativen Fehler von unter 0,05 %. Im Artikel Taylor-Formel sind einige dieser Taylorpolynome grafisch dargestellt und man findet eine Näherungsformel mit Genauigkeitsangabe. Zu beachten ist allerdings, dass die Teilsummen der Taylorpolynome nicht die bestmögliche numerische Approximation darstellen; beispielsweise in Abramowitz-Stegun finden sich Näherungspolynome mit noch kleinerem Approximationsfehler.[3]

Beziehung zur Exponentialfunktion

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Der Realteil von   ist   und der Imaginärteil ist  

Die trigonometrischen Funktionen sind eng mit der Exponentialfunktion verbunden, wie folgende Rechnung zeigt:

 

Dabei wurde verwendet:

 
 
 
Beziehung zwischen Sinus, Kosinus und Exponentialfunktion

Somit ergibt sich die sogenannte Eulerformel:

 

Für eine reelle Zahl   ist also   der Realteil und   der Imaginärteil der komplexen Zahl  .

Durch Ersetzung von   durch   ergibt sich:

 

Diese und die vorangegangenen Gleichungen lassen sich nach den trigonometrischen Funktionen auflösen. Es folgt:

 
 

Diese Gleichungen gelten nicht nur für reelle Argumente, sondern für beliebige komplexe Zahlen. Somit ergibt sich eine alternative Definition für die Sinus- und Kosinusfunktion. Durch Einsetzen der Exponentialreihe leiten sich die oben vorgestellten Potenzreihen ab.

Ausgehend von dieser Definition lassen sich viele Eigenschaften, wie zum Beispiel die Additionstheoreme des Sinus und Kosinus, nachweisen.

Definition über das Integral

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Der Sinus ist die Umkehrfunktion des Integrals zur Berechnung der Bogenlänge  

 

also   und   (siehe unten).

Definition über analytische Berechnung der Bogenlänge

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Die Definition des Sinus und Kosinus als Potenzreihe liefert einen sehr bequemen Zugang, da die Differenzierbarkeit durch die Definition als konvergente Potenzreihe automatisch gegeben ist. Die Eulerformel ist ebenfalls eine einfache Konsequenz aus den Reihendefinitionen, da sich die Reihen für   und   ganz offenbar zur Exponentialfunktion zusammenfügen, wie oben gezeigt wurde. Durch Betrachtung der Funktion  , die das Intervall   auf die Kreislinie abbildet, ergibt sich die Beziehung zur Geometrie, denn   und   sind nichts weiter als der Real- bzw. Imaginärteil von  , das heißt die Projektionen dieses Punktes auf die Koordinatenachsen.

Neben   gibt es auch andere sinnvolle Parametrisierungen des Einheitskreises, etwa

 

Geht man von dieser Formel aus, erhält man einen alternativen Zugang. Die Länge dieser Kurve wird auch als Bogenlänge bezeichnet und berechnet sich zu

 

Wie leicht zu zeigen ist, ist   ungerade, stetig, streng monoton wachsend und beschränkt. Da die gesamte Bogenlänge dem Kreisumfang entspricht, folgt, dass das Supremum von   gleich   ist;   wird bei dieser Vorgangsweise analytisch als Supremum von   definiert.

Die Funktion

 

ist auch differenzierbar:

 

Weil sie stetig und streng monoton wachsend ist, ist sie auch invertierbar, und für die Umkehrfunktion

 

gilt:

 

Mit Hilfe dieser Umkehrfunktion   lassen sich nun Sinus und Kosinus als  - und  -Komponente von   analytisch definieren:

 
 

Bei dieser Definition des Sinus und Kosinus über die analytische Berechnung der Bogenlänge werden die geometrischen Begriffe sauber formalisiert. Sie hat allerdings den Nachteil, dass im didaktischen Aufbau der Analysis der Begriff der Bogenlänge erst sehr spät formal eingeführt wird und daher Sinus und Kosinus erst relativ spät verwendet werden können.

Definition als Lösung einer Funktionalgleichung

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Ein anderer analytischer Zugang ist, Sinus und Kosinus als Lösung einer Funktionalgleichung zu definieren, die im Wesentlichen aus den Additionstheoremen besteht: Gesucht ist ein Paar stetiger Funktionen  , das für alle   die Gleichungen

 
 

erfüllt. Die Lösung   definiert dann den Sinus, die Lösung   den Kosinus. Um Eindeutigkeit zu erreichen, sind einige Zusatzbedingungen zu erfüllen. In Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1 wird zusätzlich gefordert, dass

  eine ungerade Funktion,
  eine gerade Funktion,
  und
 

ist. Bei diesem Zugang wird offensichtlich die Differenzierbarkeit des Sinus an der Stelle 0 vorausgesetzt;   wird in weiterer Folge analytisch als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus definiert. Verwendet man den Zugang von Leopold Vietoris[4] und berechnet die Ableitung des Sinus aus den Additionstheoremen, so ist es zweckmäßiger,   auf geeignete Weise analytisch (beispielsweise als Hälfte des Grenzwerts des Umfangs des dem Einheitskreis eingeschriebenen  -Ecks) zu definieren und dann die Differenzierbarkeit der Lösung dieser Funktionalgleichung zu beweisen. Als Zusatzbedingung zu den Additionstheoremen fordert man dann beispielsweise:

 ,
  und
  für alle  .

Unter den gewählten Voraussetzungen ist die Eindeutigkeit der Lösung der Funktionalgleichung relativ einfach zu zeigen; die geometrisch definierten Funktionen Sinus und Kosinus lösen auch die Funktionalgleichung. Die Existenz einer Lösung lässt sich analytisch beispielsweise durch die Taylorreihen von Sinus und Kosinus oder eine andere der oben verwendeten analytischen Darstellungen von Sinus und Kosinus die Funktionalgleichung nachweisen und tatsächlich lösen.

Produktentwicklung

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Die Kreisfunktionen Sinus und Cosinus haben folgende zwei Produktentwicklungen:

 
 

Die genannte Produktentwicklung für den Sinus zog der schweizerische Mathematiker Leonhard Euler für den Beweis vom Basler Problem heran.

Der ebenso nach diesem Mathematiker benannte Eulersche Ergänzungssatz für die Fakultätsfunktion 𝚷(n) liefert in Kombination mit der Eulerschen Produktdefinition der Fakultätsfunktion direkt die gezeigte Produktformel für die trigonometrische Sinusfunktion:

 
 

Mit dem Buchstaben des kleinen   ist hier in der Tat die Kreiszahl gemeint.

Jedoch steht das große   in der genannten Formel für die Gaußsche Pifunktion also für die kontinuisierte Form der Fakultätsfunktion.

Regeln über den Wertebereich

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Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus

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  (Gradmaß)
  (Bogenmaß)
  („trigonometrischer Pythagoras“)

Insbesondere folgt daraus   und  . Diese Ungleichungen gelten aber nur für reelle Argumente  ; für komplexe Argumente können Sinus und Kosinus beliebige Werte annehmen.

Verlauf des Sinus in den vier Quadranten

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In den vier Quadranten ist der Verlauf der Sinusfunktion folgendermaßen:

Quadrant Gradmaß Bogenmaß Bildmenge Monotonie Konvexität Punkttyp
  0 0 Nullstelle, Wendepunkt
1. Quadrant     positiv:   steigend konkav
    1 Maximum
2. Quadrant     positiv:   fallend konkav
    0 Nullstelle, Wendepunkt
3. Quadrant     negativ:   fallend konvex
      Minimum
4. Quadrant     negativ:   steigend konvex

Für Argumente außerhalb dieses Bereiches ergibt sich der Wert des Sinus daraus, dass der Sinus periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π rad) ist, d. h.  . Außerdem gilt  ,   ,   etc.

Verlauf des Kosinus in den vier Quadranten

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Der Kosinus stellt einen um 90° (bzw. π/2 rad) phasenverschobenen Sinus dar und es gilt  .

In den vier Quadranten ist der Verlauf der Kosinusfunktion daher folgendermaßen:

Quadrant Gradmaß Bogenmaß Bildmenge Monotonie Konvexität Punkttyp
  0 1 Maximum
1. Quadrant     positiv:   fallend konkav
    0 Nullstelle, Wendepunkt
2. Quadrant     negativ:   fallend konvex
      Minimum
3. Quadrant     negativ:   steigend konvex
      Nullstelle, Wendepunkt
4. Quadrant     positiv:   steigend konkav

Für Argumente außerhalb dieses Bereiches lässt sich der Wert des Kosinus – so wie der des Sinus – periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π rad) bestimmen, d. h.  . Außerdem gilt  .

Komplexes Argument

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Der Sinus ist auch für komplexe Eingabewerte definiert. Da sowohl Ein- als auch Ausgabe eine Zahl auf einer Ebene und nicht nur einem Strahl sind, schlagen die Versuche eines klassischen Schaubildes fehl, bei dem Ein- und Ausgabe jeweils 1-dimensional war (  und  -Achse). Es kann aber mit Farben nachgeholfen werden: Ein beliebiger Punkt auf diesem Bild ist (ortstechnisch!) die Eingabe. Die angenommene Farbe symbolisiert über einen Farbschlüssel den Wert, den die Funktion annimmt. Die 0 ist schwarz, die Nullstellen   usw. des Sinus lassen sich ablesen.
 
Graph der komplexen Kosinusfunktion
 
Farbfunktion, die für die beiden obigen Bilder verwendet wurde

Für komplexe Argumente kann man Sinus und Kosinus entweder über die Reihenentwicklung oder über die Formeln

 
 

definieren.

Für komplexe Argumente   gilt

 

und

 ,

was aus den Additionstheoremen und den Zusammenhängen   sowie   hergeleitet werden kann, wobei   und   die Hyperbelfunktionen Sinus und Cosinus hyperbolicus bezeichnen.

Sinus und Kosinus sind für reelle Argumente auf Werte aus dem Intervall   beschränkt; im Definitionsbereich der komplexen Zahlen   sind sie dagegen unbeschränkt, was aus dem Satz von Liouville folgt. Sinus und Kosinus können für komplexe Argumente sogar beliebige reelle oder komplexe Werte annehmen.

Zum Beispiel gilt:

 

Für reelle   nimmt   diesen Wert aber nie an.

In den Bildern auf der rechten Seite gibt die Farbe den Winkel des Arguments an, die Farbintensität den Betrag, wobei volle Intensität für kleine Werte steht und bei großen Beträgen ein Übergang zu weiß stattfindet. Die genaue Zuordnung ergibt sich aus nebenstehendem Bild, das jeder komplexen Zahl eine Farbe und eine Intensität zuordnet. An den Bildern zu Sinus und Kosinus ist erkennbar, dass auch im Komplexen Periodizität in  -Richtung vorliegt (nicht aber in  -Richtung) und dass Sinus und Kosinus durch eine Verschiebung um   auseinander hervorgehen.

Spezielle Funktionswerte

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Wichtigste Funktionswerte

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Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen mit der Periode   (entspricht im Gradmaß  ) sind, reicht es, die Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen für den Bereich   (entspricht dem Bereich   bis  ) zu kennen. Funktionswerte außerhalb dieses Bereichs können also aufgrund der Periodizität durch den Zusammenhang

 

bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog:

 

Hierbei bezeichnet   eine ganze Zahl. Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen in einer leicht zu merkenden Reihe auf.[5]

Winkel (Grad) Bogenmaß Sinus Kosinus
       
       
       
       
       

Weitere wichtige Werte sind:

Winkel (Grad) Bogenmaß Sinus Kosinus
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       

Beweisskizzen der Werte

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In folgender Liste werden die Beweise für die einzelnen Werte skizziert dargestellt:

  •  , weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) dann gleichschenklig ist, und nach Pythagoras gilt  .
  •  , weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) gespiegelt an der  -Achse dann gleichseitig ist (mit Seitenlänge 1) und somit die Gegenkathete (Sinus) die halbe Seitenlänge beträgt.
  •  , weil für das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) wegen   für den Cosinus nach Pythagoras gilt  .
  •  , weil im Pentagramm das Inverse des Goldenen Schnitts auftritt, wobei der halbierte Winkel in den Spitzen gleich 18° ist.
  •  , weil im regelmäßigen Fünfeck der Goldene Schnitt auftritt, wobei der halbierte Innenwinkel gleich 54° ist.
  •   und   lassen sich mit Hilfe der Halbwinkelformeln für Sinus und Kosinus herleiten.

Die Fünftel der Werte können unter anderem so ermittelt werden:

Zusammenhang zwischen Sinus und Cosinus:
 

Verdopplungstheorem des Sinus:

 

Verdreifachungstheorem des Cosinus:

 

Durch Kombination der drei nun genannten Formeln entsteht diese Gleichung:

 
 
 
 
 
 
 

Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte

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Der Mathematiker Carl Friedrich Gauß entdeckte die Tatsache, dass die Sinus- und Cosinuswerte von den Siebzehnteln des Vollwinkels auf rein quadratisch radikale Weise dargestellt werden kann. Damit bewies er, dass das reguläre Siebzehneck mit Zirkel und Lineal alleine konstruiert werden kann. Besonders effizient können die Cosinuswerte des Musters   mittels Lösen quadratischer Gleichungen ermittelt werden.

Tabellarisch lassen sich so nach Wickner insgesamt folgende Identitäten zusammenfassen:

Summe Produkt Radikalische Identität Tangentielle Identität
       
       
       
       

Beispielsweise[6] ergeben sich folgende Formeln:

 
 

Diese Formeln gehen aus dem Werk Solution to Problem 1562: A Tangent and Cosine Identity des Mathematikers John Wickner hervor und erklären die Konstruktion des Siebzehnecks über die Winkelvierteilungen.

Mit Winkeldreiteilung angebbare Funktionswerte

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Die trigonometrischen Werte der Siebtel und der Dreizehntel können vereinfacht mittels Winkeldreiteilung dargestellt werden. Daraus folgt, dass das reguläre Siebeneck und das reguläre Dreizehneck mit der Kombination der Werkzeuge Zirkel, Lineal und Winkeldreiteiler dargestellt werden können:

 
 

Mulitplikationsformeln und begrenzte Reihe

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Die folgenden Multiplikationsformeln gelten für alle   und komplexen Argumente  :

 
 

Für alle Werte   gilt auch folgende Summenreihe:

 

Fixpunkte

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Fixpunkt der Kosinusfunktion

Die Fixpunktgleichung   besitzt

 

als einzige reelle Lösung.

Die Gleichung   hat als einzige reelle Lösung

    (Folge A003957 in OEIS).

Die Lösung dieser Fixpunktgleichung wurde bereits 1748 von Leonhard Euler untersucht.[7] Sie ist ein einfaches Beispiel für einen nichttrivialen global attraktiven Fixpunkt. Das heißt, die Fixpunktiteration   konvergiert für jeden Startwert   gegen die Lösung. Mit dem Satz von Lindemann-Weierstraß kann nachgewiesen werden, dass es sich dabei um eine transzendente Zahl handelt. Diese mathematische Konstante wird im englischen Sprachraum auch als Dottie number bezeichnet und mit dem armenischen Buchstaben ա (Ayb) abgekürzt.[8]

Berechnung

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Zur Berechnung von Sinus und Cosinus gibt es mehrere Verfahren. Die Wahl des Berechnungsverfahrens richtet sich nach Kriterien wie Genauigkeit, Geschwindigkeit der Berechnung und Leistungsfähigkeit der verwendeten Hardware wie zum Beispiel Mikrocontroller:

Die Tabellierung aller Werte ist angezeigt bei geschwindigkeitskritischen Echtzeitsystemen, wenn diese nur eine recht kleine Winkelauflösung benötigen. CORDIC ist i. d. R. effizienter umsetzbar als die Taylor-Reihe und zudem besser konditioniert.

Umkehrfunktion

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Da sich zu einem gegebenen Wert   ein passender Winkel im ersten oder vierten Quadranten und zu einem gegebenen Wert   ein passender Winkel im ersten oder zweiten Quadranten konstruieren lässt, folgt aus diesen geometrischen Überlegungen, dass die Funktionen

 

Umkehrfunktionen besitzen. Die Umkehrfunktionen

 

werden Arkussinus bzw. Arkuskosinus genannt. Der Name rührt daher, dass sich deren Wert nicht nur als Winkel, sondern auch als Länge eines Kreisbogens (Arcus bedeutet Bogen) interpretieren lässt.

In der Analysis ist die Verwendung des Bogenmaßes praktisch, weil andernfalls (beim Gradmaß) oft die Identität   zu berücksichtigen wäre. Die Sinusfunktion

 

und die Kosinusfunktion

 

sind auf den angegebenen Definitionsbereichen streng monoton, surjektiv und daher invertierbar. Die Umkehrfunktionen sind

 

Eine andere Interpretation des Wertes als doppelter Flächeninhalt des dazugehörigen Kreissektors am Einheitskreis ist ebenfalls möglich; diese Interpretation ist insbesondere für die Analogie zwischen Kreis- und Hyperbelfunktionen nützlich.

Zusammenhang mit dem Skalarprodukt

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Der Kosinus steht in enger Beziehung mit dem Skalarprodukt zweier zwei- oder dreidimensionaler Vektoren   und  :

 

Das Skalarprodukt ist also die Länge der Vektoren multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. In abstrakten Skalarprodukträumen wird über diese Beziehung der Winkel zwischen Vektoren definiert.

Zusammenhang mit dem Kreuzprodukt

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Der Sinus steht in enger Beziehung mit dem Kreuzprodukt zweier dreidimensionaler Vektoren   und  :

 

Additionstheoreme

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Die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus lauten:

 
 

Aus den Additionstheoremen folgt insbesondere für doppelte Winkel

 
 

Orthogonale Zerlegung

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Die harmonische Schwingung

 

wird durch

 

in orthogonale Komponenten zur Basis der harmonischen Schwingung

 

zerlegt.   und   sind Effektivwerte,   und   Nullphasenwinkel. Ihre Differenz

 

heißt Phasenverschiebungswinkel. Die Ableitung der Basisfunktion

 

läuft   um eine Viertelperiode voraus. Die in den Zerlegungskoeffizienten enthaltenen Gleichwerte folgen aus einer modifizierten Fourier-Analyse, bei der nicht die Sinus- und Kosinusfunktion, sondern   und   als Basis dienen. Durch Einsetzen der harmonischen Ansätze ergibt sich schließlich:

 

Die Zerlegung gilt auch bei Ansatz von   und   mit der Kosinusfunktion.

Ableitung, Integration und Krümmung von Sinus und Kosinus

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Ableitung

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Für die Ableitung der Sinusfunktion gilt:[9]

 

Aus   und der Kettenregel erhält man die Ableitung des Kosinus:

 

und daraus schließlich auch alle höheren Ableitungen von Sinus und Kosinus

 
 

Dabei ist es wegen   (also  ) egal, ob der Winkel   im Grad- oder im Bogenmaß gemessen wird, denn für   gilt nicht nur   sondern auch   Nur für die Ableitung   des Sinus eines Winkels   nach seiner Gradzahl   käme ein störender Faktor   hinzu:

 

Um dies zu vermeiden, wird üblicherweise in der Analysis der Winkel ausschließlich im Bogenmaß angegeben.

Stammfunktion

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Aus den Ergebnissen über die Ableitung ergibt sich unmittelbar die Stammfunktion von Sinus und Kosinus:

 
 

Krümmung

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Die Krümmung des Graphen wird mit Hilfe der Formel

 

berechnet. Für   erhält man damit die Krümmungsfunktion

 

und für   entsprechend

 .

An den Wendepunkten ist die Krümmung gleich null. Dort hat die Krümmungsfunktion einen Vorzeichenwechsel. An der Stelle des Maximums ist die Krümmung gleich −1 und an der Stelle des Minimums gleich 1. Der Krümmungskreis hat an den Extrempunktem also jeweils den Radius 1.

Anwendungen

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Allgemeines Dreieck

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Skizze zum Beispiel

Mit der Sinusfunktion können auch im nicht rechtwinkligen Dreieck Größen, speziell die Höhen, berechnet werden; ein Beispiel ist die Berechnung von   im Dreieck ABC bei gegebener Länge   und Winkel  :

 

Andere wichtige Anwendungen sind der Sinussatz und der Kosinussatz.

 
Teilung des Winkels in   gleich große Teile mithilfe der Sinuskurve

Die Sinuskurve ist eine der bekanntesten Funktionsgraphen. Trotz alledem ist nahezu nichts über ihre Eigenschaft bekannt, einen Winkel in   gleich große Teile zu zerlegen. Das nebenstehende Bild zeigt exemplarisch die Teilung des Winkels   in sechs gleich große Winkelweiten.[10]

Konstruktion

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Zuerst wird ein Viertelkreis mit Radius gleich  [11] um   gezogen und anschließend der Radius   über   hinaus verlängert. Der Graph der Funktion  , sprich die Sinuskurve, wird nun z. B. mittels einer Schablone oder einer sogenannten Dynamischen-Geometrie-Software (DGS) eingetragen. Dabei schneidet die Sinuskurve die Verlängerung des Radius   und liefert so die Kreiszahl   auf der  -Achse.

In den nächsten Schritten werden vier Werte des Bogenmaßes für den 2. Quadranten der Sinuskurve auf der  -Achse bestimmt mit jeweils gleichem Abstand zueinander. Es ist in diesem Fall für die Plausibilität von Vorteil, die Bogenmaße mit dem gemeinsamen Nenner   zu bezeichnen. Durch Halbieren des Abstandes   ergibt sich das Bogenmaß  . Mittels einer Senkrechten und einer Parallelen – jeweils zur  -Achse – wird   auf den Viertelkreis übertragen; dabei trifft   den Punkt  .

Die darauf folgende Dreiteilung des Abstandes   liefert, unter Verwendung des ersten Strahlensatzes, die Bogenmaße  ,   und   sowie die Schnittpunkte   und  . Das Übertragen dieser Punkte auf die Sinuskurve erfolgt mithilfe von Senkrechten zur  -Achse; nun bezeichnet mit   und  . Anschließend werden diese Punkte mittels Parallelen zur  -Achse auf den Viertelkreisbogen projiziert, nun bezeichnet mit   und  . Da die Bogenmaße quasi vom 2. Quadranten der Sinuskurve zum 1. Quadranten des Kreises wechseln, werden sie zu Pendants mit den Bezeichnungen   und  .

Auf die gleiche Art und Weise werden die Punkte   und   bestimmt und schließlich auf den Viertelkreisbogen, nun mit den Bezeichnungen   und  , übertragen. Im dargestellten Beispiel ist der Winkel   der sechste Teil des Winkels  .

Nachweis

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Für die betreffenden Funktionswerte der Sinuskurve gilt: Der Winkel (Grad) entspricht dem Bogenmaß (Teil von   bzw.  ).

 ;     ;     ;     ;     ,

daraus folgt:

  • Der Winkel und das Bogenmaß sind zueinander direkt proportional, z. B.:  

Dies bedeutet:

  • Der n-te Teil des Abstandes   (z. B.:  ) und der n-te Teil des Viertelkreisbogens (z. B.:  ) sind gleich lang.

Fourierreihen

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Im Hilbertraum   der auf dem Intervall   bezüglich des Lebesgue-Maßes quadratisch integrierbaren Funktionen bilden die Funktionen

 

ein vollständiges Orthogonalsystem, das sogenannte trigonometrische System. Daher lassen sich alle Funktionen   als Fourierreihe

 

darstellen, wobei die Funktionenfolge   in der L2-Norm gegen   konvergiert.

Informatik

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In der Informatik wird zur Erstellung von Audiodateien (zum Beispiel im Audioformat MP3),[12] digitalen Bildern im Grafikformat JPEG,[13] Videodateien (zum Beispiel im Containerformat MP4 oder WebM) die diskrete Kosinustransformation oder die modifizierte diskrete Kosinustransformation verwendet. Zum Abspielen oder Anzeigen solcher Dateien wird die inverse diskrete Kosinustransformation, also die Umkehrfunktion verwendet.[14] Bei der digitalen Verarbeitung von akustischen und optischen Signalen wird unter anderem die Schnelle Fourier-Transformation verwendet.[15]

In der Physik werden Sinus- und Kosinusfunktion zur Beschreibung von Schwingungen verwendet. Insbesondere lassen sich durch die oben erwähnten Fourierreihen beliebige periodische Signale als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen, siehe Fourieranalyse.

Elektrotechnik

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Leistungszeigerdiagramm und Phasenverschiebungswinkel bei sinusförmigen Spannungen und Strömen in der komplexen Ebene

In der Elektrotechnik sind häufig elektrische Stromstärke   und Spannung   sinusförmig. Wenn sie sich um einen Phasenverschiebungswinkel   unterscheiden, dann unterscheidet sich die aus Stromstärke und Spannung gebildete Scheinleistung   von der Wirkleistung  :

 
 

Bei nicht sinusförmigen Größen (z. B. bei einem Netzteil mit herkömmlichem Brückengleichrichter am Eingang) entstehen Oberschwingungen, bei denen sich kein einheitlicher Phasenverschiebungswinkel angeben lässt. Dann lässt sich zwar noch ein Leistungsfaktor

 

angeben, dieser Leistungsfaktor   darf aber mit   nicht verwechselt werden.

Siehe auch

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Literatur

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  • I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 19. Auflage. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1979.
  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis I. Eine integrierte Darstellung. 7. Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989.
  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 1. 6. Auflage. Teubner, 1989.
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Wikibooks: Differentiation der Sinusfunktion – Lern- und Lehrmaterialien
Wikiversity: Sinus und Kosinus – Kursmaterialien
Wiktionary: Kosinus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wiktionary: Sinus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

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  1. J. Ruska: Zur Geschichte des „Sinus“. In: Zeitschrift für Mathematik und Physik. Teubner, Leipzig 1895. S. 126 ff. Auch online zugänglich: Digitalisierungszentrum der Universität Göttingen.
  2. Josef Laub (Hrsg.): Lehrbuch der Mathematik für die Oberstufe der allgemeinbildenden höheren Schulen. 2. Band. 2. Auflage. Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1977, ISBN 3-209-00159-6, S. 207.
  3. Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, New York 1964. ISBN 0-486-61272-4, (4.3.964.3.99). (Memento vom 1. Februar 2009 im Internet Archive).
  4. Leopold Vietoris: Vom Grenzwert  . In: Elemente der Mathematik. Band 12, 1957.
  5. Georg Hoever: Höhere Mathematik kompakt. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-662-43994-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  6. Eric W. Weisstein: Trigonometry Angles--Pi/17. Abgerufen am 4. Februar 2023 (englisch).
  7. Leonhard Euler: Introductio in analysin infinitorum. Band 2. Marc Michel Bousquet, Lausanne 1748, S. 306–308.
  8. Eric W. Weisstein: Dottie number. In: MathWorld (englisch).
  9. Wikibooks: Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion
  10. Hung Tao Sheng: A Method of Trisection of an Angle and X-Section of an Angle. 4. Xsection of an angle, X = 7. In: Mathematics Magazine. 42, No. 2. Taylor & Francis, März 1969, S. 79, JSTOR:2689193 (englisch).
  11.   = Längeneinheit
  12. Joebert S. Jacaba: AUDIO COMPRESSION USING MODIFIEDDISCRETE COSINE TRANSFORM: THE MP3 CODING STANDARD. (Memento vom 13. Juni 2010 im Internet Archive).
  13. International Telecommunication Union: INFORMATION TECHNOLOGY – DIGITAL COMPRESSION AND CODING OF CONTINUOUS-TONE STILL IMAGES – REQUIREMENTS AND GUIDELINES
  14. ITWissen, Klaus Lipinski: Videokompression
  15. Tomas Sauer, Justus-Liebig-Universität Gießen: Digitale Signalverarbeitung (Memento vom 9. Juli 2018 im Internet Archive).