Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus

trigonometrische Funktionen

Areasinus hyperbolicus (abgekürzt oder ) und Areakosinus hyperbolicus (abgekürzt oder ) gehören zu den Areafunktionen und sind die Umkehrfunktionen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.

Definitionen

Bearbeiten

Die Funktionen lassen sich durch die folgenden Formeln ausdrücken:

Areasinus hyperbolicus:

Definition über den natürlichen Logarithmus  :

  mit  

Definition über ein Integral:

  mit  

Areakosinus hyperbolicus:

  für  

Umrechnung

Bearbeiten

Zusammen mit der Signumfunktion   gilt der Zusammenhang:

 

Für   gilt:

 

Eigenschaften

Bearbeiten
 
Graph der Funktion arsinh(x)
 
Graph der Funktion arcosh(x)
  Areasinus hyperbolicus Areakosinus hyperbolicus
Definitionsbereich    
Wertebereich    
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend streng monoton steigend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Ursprung,
ungerade Funktion
keine
Asymptote   für     für  
Nullstellen    
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte   keine

Reihenentwicklungen

Bearbeiten

Wie bei allen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen gibt es auch Reihenentwicklungen. Dabei treten die Doppelfakultät und die Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten auf.

Die Reihenentwicklungen lauten:

 

Ableitungen

Bearbeiten

Die Ableitung des Areasinus hyperbolicus lautet:

  für beliebige reelle Zahlen  .

Die Ableitung des Areakosinus hyperbolicus lautet:

  für alle reellen  .

Stammfunktionen

Bearbeiten

Reguläre Areafunktionen arsinh und arcosh

Bearbeiten

Die Ursprungsstammfunktion des Areasinus hyperbolicus lautet wie folgt:

 

Somit gilt:

 

Die durch den Punkt (1|0) verlaufende Stammfunktion und des Areakosinus hyperbolicus lautet so:

 

Somit gilt:

 

Kardinalische Areafunktionen

Bearbeiten

Die Ursprungsstammfunktion des kardinalischen Areasinus Hyperbolicus ist dilogarithmisch beschaffen:

 

Eng verwandt sind diese Ursprungsstammfunktionen aus den Abwandlungen des Areasinus Hyperbolicus Cardinalis:

 
 
 

Kehrwerte der Areafunktionen

Bearbeiten

Die Integrale der Kehrwerte von Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus beinhalten die Integralhyperbelfunktionen und sind somit nicht elementar darstellbar.

Die Ursprungsstammfunktion des reziproken Kardinalischen Areasinus Hyperbolicus ist direkt die Hälfte vom Integralsinus Hyperbolicus vom Doppelten des Areasinus Hyperbolicus:

 
 
 

Das Integral aus dem Kehrwert des Areasinus Hyperbolicus ist eine Komposition aus dem Integralkosinus Hyperbolicus:

 

Dabei sind die Integralhyperbelfunktionen so definiert:

 
 

Beispielwerte

Bearbeiten

Folgende bestimmten Integrale aus den Produkten des Areasinus Hyperbolicus sind gültig:

 
 
 

Folgende bestimmten Integrale aus den Produkten vom Kehrwert des Areasinus Hyperbolicus sind gültig:

 
 

Der Buchstabe G stellt die Catalan-Konstante und der Ausdruck   stellt die Apéry-Konstante dar.

Andere Identitäten

Bearbeiten

Additionstheoreme

Bearbeiten
 
 
 

Vervielfachungstheoreme

Bearbeiten
 

Numerische Berechnung

Bearbeiten

Grundsätzlich kann der Areasinus hyperbolicus über die bekannte Formel

 

berechnet werden, wenn die natürliche Logarithmusfunktion   zur Verfügung steht. Es gibt jedoch folgende Probleme:

  • Große, positive Operanden lösen einen Überlauf aus, obwohl das Endergebnis immer darstellbar ist.
  • Für Operanden nahe an 0 kommt es zu einer numerischen Auslöschung, womit das Ergebnis ungenau wird.

Zunächst einmal soll der Operand   positiv gemacht werden:

  für   angewandt.

Für   können dann folgende Fälle unterschieden werden:

Fall 1:   ist eine große, positive Zahl mit  :

 
wobei   die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist, was zum Beispiel beim 64-Bit-Gleitkommatyp double 16 ist.
Diese Formel ergibt sich aus folgender Überlegung:
  ist die kleinste positive Zahl, ab der die letzte Vorkommastelle nicht mehr gespeichert ist, weshalb   gilt. Jetzt soll dasjenige   berechnet werden, ab dem gilt:  . Dies gilt für  , woraus   folgt. Somit kann man in der bekannten Formel für den Areasinus hyperbolicus   durch   ersetzen:
  

Fall 2:   ist nahe an 0, z. B. für  :

Verwendung der Taylorreihe:
 

Fall 3: Alle übrigen  :

 

In gleicher Weise kann der Areacosinus hyperbolicus über die Formel

 

berechnet werden. Auch hier entsteht jedoch das Problem mit den großen Operanden; die Lösung ist dieselbe wie beim Areasinus:

Fall 1:   ist eine große positive Zahl mit  :

 
wobei   die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist.

Fall 2:  :

Das Ergebnis ist nicht definiert.

Fall 3: Alle übrigen  , d. h. für  :

 

Siehe auch

Bearbeiten
Bearbeiten