Basisauswahlsatz

Satz aus der Linearen Algebra

Der Basisauswahlsatz ist ein elementarer Lehrsatz der Linearen Algebra, einem der Teilgebiete der Mathematik. Er ist verwandt mit dem Austauschlemma von Steinitz, dem Basisergänzungssatz und dem Schranken-Lemma.

Formulierung des Satzes

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Der Satz lautet wie folgt:[1]

In jedem Vektorraum   über einem beliebigen Körper   lässt sich aus einem endlichen Erzeugendensystem stets eine Basis auswählen.
Insbesondere hat jeder endlich erzeugte Vektorraum eine endliche Basis.

Beweisskizze

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Für eine Teilmenge   des Vektorraums bezeichne   deren lineare Hülle.

Sei nun   ein endliches Erzeugendensystem von  . Ist   schon linear unabhängig, so ist man fertig, denn damit ist   ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, also eine Basis von  .

Ist andererseits   selbst linear abhängig, so lässt sich darin ein Element   auswählen mit  . Dann ist  , also   selbst auch ein endliches Erzeugendensystem von  , dessen Anzahl gegenüber   allerdings um   vermindert ist.

Ist   nun linear unabhängig, also eine Basis, so ist man fertig. Andernfalls wiederholt man das Verfahren.

Man gelangt auf diese Weise nach endlich vielen Schritten zu einer endlichen Teilmenge  , die eine Basis von   darstellt.

Verwandtes Theorem

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Mit dem Basisauswahlsatz verwandt ist das folgende grundlegende Theorem der Linearen Algebra:[1]

Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.

Der Beweis dieses verwandten Theorems erfordert im Falle, dass der zugrundeliegende Vektorraum nicht endlich erzeugt ist, den Einsatz eines der Maximalitätsprinzipien der Mengenlehre wie etwa den des zornschen Lemmas. Das Theorem ergibt sich folglich nur bei Annahme der Gültigkeit des Auswahlaxioms. Im Unterschied dazu gilt der Basisauswahlsatz stets, weil er die Endlichkeit eines Erzeugendensystems schon voraussetzt.

Verallgemeinerung

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Wie die Beweisskizze zeigt, lässt sich auf die gleiche Art und Weise zeigen, dass sich aus einem endlichen Erzeugendensystem eines Matroids stets eine Basis auswählen lässt.

Einzelnachweise

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  1. a b Gerd Fischer: Lineare Algebra. 17., aktualisierte Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4, S. 88.