Duale Basis

Basis des Dualraumes eines Vektorraumes

Die duale Basis ist ein Begriff aus der linearen Algebra, der in zwei unterschiedlichen Bedeutungen auftritt:

  • Zu einer gegebenen Basis eines endlichdimensionalen Vektorraums wird eine zugehörige duale Basis des Dualraums konstruiert.
  • Zu einer gegebenen Basis eines euklidischen Vektorraums wird eine weitere, zur ersten duale Basis von konstruiert, die auch reziproke Basis genannt wird.[1]

Letzteres ist der in Naturwissenschaft und Technik häufig auftretende Spezialfall des ersten Falls, und wird hier vorangestellt. Die Einführung von zwei reziproken Basissystemen erlaubt erweiterte algebraische Möglichkeiten sowie kompakte oder symmetrische und daher auch elegante Formulierungen vieler Beziehungen.[1]:116

Der zweite Abschnitt #Duale Basis im Dualraum V* behandelt den mathematisch aufwändigeren allgemeinen Fall.

Duale Basis im euklidischen Vektorraum V

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Die duale Basis wird auch reziproke Basis genannt, denn

„Vektorsätze werden zueinander reziprok genannt, wenn die Vektoren des einen Satzes jeweils senkrecht stehen auf denjenigen Vektoren des anderen Satzes, die abweichende Indizes haben. Bei gleich indizierten Vektoren wird Eins gefordert.“

Wolfgang Werner[1]

Mathematisch ausgedrückt mit Basisvektoren   und reziproker Basis   eines n-dimensionalen euklidischen Vektorraums V bedeutet das:

 

mit dem Skalarprodukt „·“ des Vektorraums und dem Kronecker-Delta  . Dies ist die Übertragung der definierenden Eigenschaften einer Orthonormalbasis auf eine schiefwinklige Basis. Bei einer Orthonormalbasis ist die reziproke Basis identisch zur gegebenen Basis.

Komponenten von Vektoren

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Die reziproke Basis wird vor allem dazu verwendet, die Koeffizienten und Komponenten von Vektoren und Tensoren zu berechnen, beispielsweise

 
 

Insbesondere für die Basisvektoren ergibt sich[1]:143

 

Die auftretenden Skalarprodukte   und   sind die Metrikkoeffizienten des Vektorraums. Sie haben ihren Namen daher, dass mit ihrer Hilfe geometrische Eigenschaften wie Länge, Abstand und Winkel gemessen werden können, beispielsweise:

 

wo cos(a,b) den Cosinus des Winkels zwischen den Vektoren a und b ausgibt. Durch eine Abstandsdefinition, wie z. B. den euklidischen Abstand, wird die Metrik des Raumes bestimmt.[1]:115 Siehe auch #Tensor-Schreibweise und Krummlinige Koordinaten.

Berechnung der reziproken Basis

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Werden die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix eingelagert,  , dann finden sich die reziproken Basisvektoren in den Zeilen der Inversen   oder den Spalten der transponiert inversen Matrix  . Mit der Standardbasis ê1,2,…,n und dem dyadischen Produkt „⊗“ schreibt sich das:

 

denn

 

wo   für die Einheitsmatrix steht. Bemerkenswert ist

 

Spezialfall R3

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Im Vektorraum   mit Standardskalarprodukt "·" und Kreuzprodukt "×" findet sich mit obiger Gleichung und der Formel für Matrizeninversion:

 

Im Nenner der Brüche steht das mit den Basisvektoren gebildete Spatprodukt, das invariant gegenüber einer zyklischen Vertauschung seiner Argumente ist, und das gleich der Determinante der Matrix ist, die aus den Basisvektoren gebildet wird. Die definierende Eigenschaft ist hier sofort ersichtlich.

Anwendung aus der Kristallographie

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Die Bestimmung dieser dualen Basis im   ist bei der Beschreibung von Kristallgittern wichtig. Dort bilden die primitiven Gittervektoren   eine (i. A. nicht orthonormale) Basis des  . Das Skalarprodukt zwischen Basisvektoren der reziproken Basis   und primitiven Gittervektoren   ist in der kristallographischen Konvention:

 ,

  ist also die zu   duale Basis im  .

Beispiel: Die primitiven Gittervektoren des kubisch-flächenzentrierten (fcc) Gitters lauten:

 
 
 

Obige Gleichungen für den   ergeben:

 
 
 

Diese bilden ein kubisch-raumzentriertes (bcc) Gitter.

Formale Definition und Berechnung

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Sei   eine beliebige Basis eines euklidischen Vektorraums  . Die dazu duale Basis   in   ist definiert durch die Eigenschaft

 ,

Hierbei bezeichnet   das Skalarprodukt.

Weiter sei   eine Orthonormalbasis in  ,     beschreibe den Basiswechsel mit der invertierbaren Matrix  . Durch Vergleichen von

 

mit   ergibt sich

 .

Mit dem dyadischen Produkt   schreibt sich das wie eingangs angegeben.

Verallgemeinerung auf pseudo-riemannsche Metrik

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Im endlichdimensionalen Vektorraum   mit pseudo-riemannscher Metrik   und einer Basis   betrachte den Dualvektor   definiert durch

 .

Dann gilt

    mit  .

Dabei ist   der duale Vektor im Dualraum aus der ersten Bedeutung,   das äußere Produkt und   der durch die pseudo-riemannsche Metrik induzierte Isomorphismus zwischen   und  .

Duale Basis im Dualraum V*

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Definition

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Es sei   ein  -dimensionaler Vektorraum über einem Körper  . (In Anwendungen ist der Körper oft   oder  .) Weiter sei   eine Basis von  .

Dann gibt es zu jedem   genau eine lineare Abbildung   mit   und   für  , denn eine lineare Abbildung ist durch die Bilder auf einer Basis eindeutig bestimmt. Die so definierten   bilden eine Basis   des Dualraums  , welche zur Basis von   dual ist. Mit der Kronecker-Delta-Schreibweise, ist also die definierende Eigenschaft der dualen Basis  .

Beispiel

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Sei   die Monombasis des Vektorraums   der Polynome mit maximalem Grad 2. Wir definieren den Dualraum bezüglich des Skalarprodukts  . Dann bilden die linearen Abbildungen   die duale Basis des  .

Verhalten bei Basiswechsel

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Sei   eine Basis von   und   die zugehörige duale Basis. Weiter sei   eine zweite Basis von   mit  .

Als Matrix eines Basiswechsels ist   invertierbar. Die Komponenten der Inversen   seien mit   bezeichnet. Ein Vergleich von

 

mit der definierenden Eigenschaft   ergibt sofort das Transformationsverhalten der dualen Basis:

 .

Berechnung bezüglich einer festen Basis

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Ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension   über dem Körper   ist stets isomorph zum Koordinatenraum   der Spalten-Vektoren mit Einträgen aus  . Wählt man als Isomorphismus

 ,   usw.,

wird   gemäß obigem abgebildet auf die i-te Zeile von  .

Tensor-Schreibweise

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Im Tensor-Formalismus der Relativitätstheorie schreibt man die Basis eines Vektorraumes (wie etwa eines Tangentialraums) mit oberen Indizes,  , nennt diese Vektoren kontravariant und versteht diese als Spalten-Vektoren. Die zugehörige kovariante Basis ist dann genau die oben vorgestellte duale Basis in Form von Zeilen-Vektoren. Diese schreibt man dann mit unteren Indizes,  . Die definierende Bedingung lautet dann  .

Der Grund für diese Schreibweise ist das unterschiedliche Transformationsverhalten der Vektoren bei Basiswechsel. Ist   die lineare Transformation, die eine Basis   auf eine andere   abbildet, so gilt:

 

und man liest ab, dass sich die duale Basis mittels   transformiert. Betrachtet man Koordinaten bezüglich der Basen, so findet man ähnliche Verhältnisse. Ist etwa   und ist  , so gilt bei Beachtung der Einsteinschen Summenkonvention für einen Vektor  :

 .

Der Koeffizient von   zum Basisvektor   ist also  , das heißt die Koeffizienten transformieren sich ebenfalls mittels der inversen Transformationsmatrix. Generell schreibt man alle (kontravarianten) Größen, die sich mittels   transformieren, mit oberen Indizes und alle (kovarianten) Größen, die sich gegenläufig, also mittels   transformieren, mit unteren Indizes.

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. a b c d e Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Tensoralgebra und Tensoranalysis. Band 1. Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25271-7, S. 81, doi:10.1007/978-3-658-25272-4.
  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.
  • Hans Stephani: Allgemeine Relativitätstheorie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1991, ISBN 3-326-00083-9.