Liste kleiner Gruppen

Wikimedia-Liste

Die folgende Liste enthält eine Auswahl endlicher Gruppen kleiner Ordnung.

Diese Liste kann benutzt werden, um herauszufinden, zu welchen bekannten endlichen Gruppen eine Gruppe G isomorph ist. Als erstes bestimmt man die Ordnung von G und vergleicht sie mit den unten aufgelisteten Gruppen gleicher Ordnung. Ist bekannt, ob G abelsch (kommutativ) ist, so kann man einige Gruppen ausschließen. Anschließend vergleicht man die Ordnung einzelner Elemente von G mit den Elementen der aufgelisteten Gruppen, wodurch man G bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen kann.

In der nachfolgenden Liste werden folgende Bezeichnungen verwendet:

  •   ist die zyklische Gruppe der Ordnung   (die auch als   oder   geschrieben wird).
  •   ist die Diedergruppe der Ordnung  .
  •   ist die symmetrische Gruppe vom Grad  , mit n! Permutationen von   Elementen.
  •   ist die alternierende Gruppe vom Grad  , mit   Permutationen von   Elementen für  .
  •   ist die dizyklische Gruppe der Ordnung  .
  •   ist die Klein’sche Vierergruppe der Ordnung  .
  •   ist die Quaternionengruppe der Ordnung   für  .

Die Notation   wird benutzt, um das direkte Produkt der Gruppen   und   zu bezeichnen. Es wird angemerkt, ob eine Gruppe abelsch oder einfach ist. (Für Gruppen der Ordnung   sind die einfachen Gruppen genau die zyklischen Gruppen  , mit   aus der Menge der Primzahlen.) In den Zykel-Graphen der Gruppen wird das neutrale Element durch einen ausgefüllten schwarzen Kreis dargestellt. Ordnung   ist die kleinste Ordnung, für welche die Gruppenstruktur durch den Zykel-Graphen nicht eindeutig bestimmt ist: Die nichtabelsche modulare Gruppe und   haben den gleichen Zykel-Graphen und den gleichen (modularen) Untergruppenverband, sind aber nicht isomorph.

Es ist zu beachten, dass   bedeutet, dass es 3 Untergruppen vom Typ   gibt (nicht die Nebenklasse von  ).

Zu jeder Ordnung wird zunächst die zyklische Gruppe angegeben, dann folgen gegebenenfalls weitere abelsche Gruppen und dann gegebenenfalls nichtabelsche Gruppen:

Liste aller Gruppen bis Ordnung 24

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Ordnung Gruppe Echte Untergruppen[1] Eigenschaften Zykel-Graph
1     (triviale Gruppe) - abelsch, zyklisch
 
2     (Gruppe Z2) - abelsch, einfach, zyklisch, kleinste nichttriviale Gruppe
 
3   - abelsch, einfach, zyklisch
 
4     abelsch, zyklisch
 
    (Kleinsche Vierergruppe)   abelsch, die kleinste nichtzyklische Gruppe
 
5   - abelsch, einfach, zyklisch
 
6    ,   abelsch, zyklisch
 
    (Symmetrische Gruppe)  ,   kleinste nichtabelsche Gruppe
 
7   - abelsch, einfach, zyklisch
 
8    ,   abelsch, zyklisch
 
   ,  ,   abelsch
 
   ,   abelsch
 
   ,  ,   nichtabelsch
 
    (Quaternionengruppe)  ,   nichtabelsch; die kleinste hamiltonsche Gruppe
 
9     abelsch, zyklisch
 
    abelsch
 
10    ,   abelsch, zyklisch
 
   ,   nichtabelsch
 
11   - abelsch, einfach, zyklisch
 
12    ,  ,  ,   abelsch, zyklisch
 
   ,  ,  ,   abelsch
 
   ,  ,  ,  ,   nichtabelsch
 
   (Gruppe A4)  ,  ,   nichtabelsch; kleinste Gruppe, die zeigt, dass die Umkehrung des Satzes von Lagrange nicht stimmt: keine Untergruppe der Ordnung 6
 
  (hier Verknüpfungstafel)  ,  ,  ,   nichtabelsch
 
13   - abelsch, einfach, zyklisch
 
14    ,   abelsch, zyklisch
 
   ,   nichtabelsch
 
15    ,   abelsch, zyklisch (siehe „Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch.“)
 
16    ,  ,   abelsch, zyklisch
 
   ,  ,   abelsch
 
   ,  ,  ,  ,   abelsch
 
   ,  ,  ,  ,   abelsch
 
   ,  ,  ,  abelsch
 
   ,  ,  ,  ,   nichtabelsch
 
   ,  ,  ,  ,  ,   nichtabelsch
 
   ,  ,  ,   nichtabelsch
 
   ,  ,  ,  ,   nichtabelsch, hamiltonsche Gruppe
 
Quasi-Diedergruppe  ,  ,  ,  ,  ,   nichtabelsch
 
Nichtabelsche nicht-hamiltonsche modulare Gruppe  ,  ,  ,  ,   nichtabelsch
 
Semidirektes Produkt   (siehe hier)  ,  ,  ,   nichtabelsch
 
Die durch Pauli-Matrizen erzeugte Gruppe.  ,  ,  ,  ,  ,   nichtabelsch
 
   ,  ,  ,  ,   nichtabelsch
 
17   - abelsch, einfach, zyklisch
 
18           abelsch, zyklisch
 
          abelsch
 
          nichtabelsch
 
            nichtabelsch
 
  mit           nichtabelsch
 
19   - abelsch, einfach, zyklisch
 
20           abelsch, zyklisch
 
          abelsch
 
          nichtabelsch
 
  AGL1(5)         nichtabelsch
 
            nichtabelsch
 
21       abelsch, zyklisch
 
      nichtabelsch
 
22       abelsch, zyklisch
 
      nichtabelsch
 
23   - abelsch, einfach, zyklisch
 
24               abelsch, zyklisch
 
             abelsch
 
        abelsch
 
              nichtabelsch
 
SL(2,3)            nichtabelsch
 
                nichtabelsch
 
                      nichtabelsch
 
                    nichtabelsch
 
                  nichtabelsch
 
                      nichtabelsch
                  nichtabelsch
 
              nichtabelsch
 
                nichtabelsch
 
              nichtabelsch
 
                  nichtabelsch
 

Einfache Struktursätze

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Die folgenden Aussagen sind sehr elementare Struktursätze, deren Auswirkung sich deutlich in obiger Liste widerspiegelt.

  • Ist   eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung   isomorph zur zyklischen Gruppe  .[2]
  • Ist   eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung   abelsch,[3] genauer isomorph zur zyklischen Gruppe   oder zum direkten Produkt  .[4]
  • Ist   eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung   isomorph zur zyklischen Gruppe   oder zur Diedergruppe  .[5]
  • Sind   und   Primzahlen mit   und ist   kein Teiler von  , dann ist jede Gruppe der Ordnung   isomorph zur zyklischen Gruppe  .[6]

„The SmallGroups Library“

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Das Computeralgebrasystem GAP enthält die Programmbibliothek SmallGroups Library, die eine Beschreibung von Gruppen kleiner Ordnung enthält. Diese sind alle bis auf Isomorphie aufgelistet. Momentan (GAP Version 4.8.8) enthält die Bibliothek Gruppen folgender Ordnung:

  • alle der Ordnung bis  , außer den   Gruppen der Ordnung   (bleiben   Gruppen);
  • alle Gruppen, deren Ordnung   für keine Primzahl   von   geteilt wird, für   (  Gruppen);
  • alle der Ordnung  , wobei   eine der Primzahlen   oder   ist (  Gruppen);
  • alle der Ordnung   mit einer beliebigen Primzahl   und  ;
  • alle der Ordnung   mit   teilt   oder   und   ist eine beliebige von   verschiedene Primzahl;
  • alle Gruppen, deren Ordnung   für keine Primzahl   von   geteilt wird (d. h.   ist quadratfrei);
  • alle Gruppen, deren Ordnung   in höchstens drei Primzahlen zerlegbar ist.

Diese Bibliothek wurde von Hans Ulrich Besche, Bettina Eick und Eamonn O’Brien erstellt.[7]

Einzelnachweise

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  1. In der Liste der Untergruppen werden die trivialen Untergruppen (die einelementige Gruppe und die Gruppe selbst) nicht aufgelistet.
  2. Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag, 1967, Kap. I, § 2, Satz 2.10.
  3. Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag (1967), Kap. I, § 6, Satz 6.10.
  4. Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, Satz 2.2.12.
  5. Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Beispiel 2.2.11 e.
  6. Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag (1967), Kap. I, § 8, Satz 8.10.
  7. The SmallGroups library. Bei: www.gap-system.org.
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