Σ-Endlichkeit

Der Begriff der $\sigma$-Endlichkeit (auch $\sigma$-Finitheit) wird in der mathematischen Maßtheorie verwendet und liefert eine Abstufung von (messbaren) Mengen von unendlichem Maß in $\sigma$-endliche und nicht $\sigma$-endliche Mengen. Er wird aus ähnlichen Gründen eingeführt wie der Begriff der Abzählbarkeit bezüglich der Anzahl von Elementen einer Menge.

Definition

Ein positives Maß $\mu$, definiert auf einer $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$ über einer Grundmenge $\Omega$, heißt $\sigma$-endlich, wenn es abzählbar viele messbare Mengen $A\in {\mathcal {A}}$ mit endlichem Maß, das heißt $\mu (A)<\infty$ gibt, deren Vereinigung $\Omega$ ist. Der Maßraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ wird dann ebenfalls $\sigma$-endlich genannt. Eine Menge, für die der Maßraum eingeschränkt auf diese $\sigma$-endlich ist, heißt $\sigma$-endliche Menge. Analog lassen sich auch $\sigma$-endliche Prämaße und $\sigma$-endliche Inhalte definieren.

Die Definition lässt sich auf signierte Maße ausweiten: Ein signiertes Maß $\nu$ heißt $\sigma$-endlich, wenn die Variation $|\nu |$ $\sigma$-endlich ist.

Anwendung

• Nicht endliche Maße können pathologische Eigenschaften aufweisen, jedoch sind viele der häufig betrachteten Maße nicht endlich. Die Klasse der $\sigma$-endlichen Maße teilt mit den endlichen Maßen einige angenehme Eigenschaften, $\sigma$-Endlichkeit kann in dieser Hinsicht mit der Separabilität von topologischen Räumen verglichen werden. Einige Sätze der Analysis, wie der Satz von Radon-Nikodym und der Satz von Fubini, gelten zum Beispiel nicht mehr für nicht $\sigma$-endliche Maße (mitunter ist jedoch eine Übertragung auf allgemeinere Fälle möglich, indem man den Satz für alle $\sigma$-endlichen Teilräume anwendet).
• Das Birkhoff-Integral für Banachraum-wertige Funktionen wird mit Hilfe von $\sigma$-endlichen Maßen definiert.

Beispiele

• Das Zählmaß auf der Potenzmenge einer Menge $M$ ist genau dann endlich, wenn $M$ endlich ist, und genau dann $\sigma$-endlich, wenn $M$ abzählbar ist.
• Das Lebesgue-Maß auf den reellen Zahlen ist nicht endlich, aber $\sigma$-endlich. Denn betrachtet man die Intervalle $[k,k+1]$ für alle ganzen Zahlen $k$, so hat jedes Intervall das Maß 1, und $\mathbb {R}$ ist deren Vereinigung.
• Ist eine lokalkompakte topologische Gruppe $\sigma$-kompakt, so ist ihr Haarmaß $\sigma$-endlich.

Inhalte und Prämaße

Völlig analog spricht man auch auf Halbringen von $\sigma$-endlichen Inhalten und Prämaßen. Nach dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory ist jedes $\sigma$-endliche Prämaß auf einem Halbring eindeutig zu einem Maß auf der erzeugten $\sigma$-Algebra fortsetzbar (ohne $\sigma$-Endlichkeit folgt nicht die Eindeutigkeit).

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-15307-1.