„Σ-Endlichkeit“ – Versionsunterschied
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liefert eine Abstufung von (messbaren) Mengen von unendlichem [[Maß (Mathematik)|Maß]] in <math>\sigma</math>-endliche und nicht <math>\sigma</math>-endliche Mengen. Er wird aus ähnlichen Gründen eingeführt wie der Begriff der [[Abzählbarkeit]] bezüglich der [[Anzahl]] von Elementen einer Menge. Allgemein ist die |
liefert eine Abstufung von (messbaren) Mengen von unendlichem [[Maß (Mathematik)|Maß]] in <math>\sigma</math>-endliche und nicht <math>\sigma</math>-endliche Mengen. Er wird aus ähnlichen Gründen eingeführt wie der Begriff der [[Abzählbarkeit]] bezüglich der [[Anzahl]] von Elementen einer Menge. Allgemein ist die <math>\sigma</math>-Endlichkeit eine Eigenschaft von [[Mengenfunktion]]en in Verbindung mit einem [[Mengensystem]]. Oftmals wird aber auf die Angabe des Mengensystems verzichtet, wenn klar ist, um welches es sich handelt. |
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== Definition == |
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Gegeben sei ein [[ |
Gegeben sei ein [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] <math> (X, \mathcal A ) </math>. Dann heißt ein [[Maß (Mathematik)|Maß]] <math> \mu </math> ein <math> \sigma </math>-endliches Maß, wenn es eine der drei folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt: |
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# Es existieren [[abzählbare Menge|abzählbar]] viele Mengen <math> A_1, A_2, A_3, \dots </math> aus <math> \mathcal A </math>, die außerdem <math> \mu(A_n) < \infty </math> für alle <math> n \in \N </math> erfüllen und die <math> X </math> überdecken. Es gilt also |
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#:<math> \bigcup_{n \in \N} A_n =X</math>. |
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#Es existieren abzählbar viele [[disjunkte Mengen]] <math> A_1, A_2, A_3, \dots </math> aus <math> \mathcal A </math>, die außerdem <math> \mu(A_n) < \infty </math> für alle <math> n \in \N </math> erfüllen und die <math> X </math> überdecken. Es gilt also |
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#:<math> \bigcup_{n \in \N} A_n =X</math>. |
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#Es existiert eine strikt positive (d. h. <math> f(x)> 0 </math> für alle <math> x \in X </math>) messbare Funktion <math> f </math>, so dass |
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#:<math> \int f(x) \mu(\mathrm dx)< \infty </math>. |
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Das [[Lebesgue-Maß]] <math> \lambda </math> auf den reellen Zahlen, versehen mit der [[Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]], ist nicht endlich, aber <math>\sigma</math>-endlich. Denn betrachtet man die Mengen |
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:<math> I_n:=(-n,n) \in \mathcal B(\R)</math>, |
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so ist <math> \lambda(I_n)=2n < \infty </math> und |
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:<math> \bigcup_{n=1}^{\infty} I_n =\R </math>. |
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Somit erfüllt das Lebesgue-Maß das erste Kriterium in der obigen Konstruktion. Eine disjunkte Überdeckung mit Mengen endlichen Maßes wie im zweiten Punkt der Definition liefern beispielsweise die Mengen |
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:<math> B_n=I_n \setminus I_{n-1} </math>, |
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wobei <math> B_1=I_1 </math> ist. Dann ist <math> \lambda(B_n)=2 </math> und es gilt wieder |
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:<math> \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n =\R </math>. |
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Eine strikt positive Funktion mit endlichem Integral wie im dritten Punkt der Definition gefordert erhält man beispielsweise durch |
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:<math> f(x)= \sum_{n=1}^\infty \frac{\mathbf 1_{B_n}(x)}{2^n} </math>. |
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Hierbei ist <math> \mathbf 1_A </math> die [[Indikatorfunktion]] auf der Menge <math> A </math>. |
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⚫ | Zu beachten ist, dass <math> \sigma</math>-Endlichkeit immer eine Eigenschaft eines Maßes in Kombination mit einem Messraum ist. So ist das [[Zählmaß (Maßtheorie)|Zählmaß]] auf einer Menge <math> M</math>, versehen mit der [[Potenzmenge]] als <math> \sigma</math>-Algebra endlich, wenn <math> M </math> endlich ist und genau dann <math> \sigma</math>-endlich, wenn <math> M </math> höchstens abzählbar ist. |
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== Anwendung == |
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⚫ | * Nicht endliche Maße können [[Pathologisches Beispiel|pathologische]] Eigenschaften aufweisen, jedoch sind viele der häufig betrachteten Maße nicht endlich. Die Klasse der <math>\sigma</math>-endlichen Maße teilt mit den [[Endliches Maß|endlichen Maßen]] einige angenehme Eigenschaften, <math>\sigma</math>-Endlichkeit kann in dieser Hinsicht mit der [[Separabler Raum|Separabilität]] von [[Topologischer Raum|topologischen Räumen]] verglichen werden. Einige Sätze der Analysis, wie der [[Satz von Radon-Nikodým]] und der [[Satz von Fubini]], gelten zum Beispiel nicht mehr für nicht <math>\sigma</math>-endliche Maße (mitunter ist jedoch eine Übertragung auf allgemeinere Fälle möglich, indem man den Satz für alle <math>\sigma</math>-endlichen Teilräume anwendet). |
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== Äquivalenz zu Wahrscheinlichkeitsmaßen == |
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Zwei Maße <math>\mu</math> und <math>\nu</math> auf einem gemeinsamen [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] <math>(X, \mathcal A)</math> heißen [[Äquivalenz (Maßtheorie)|''äquivalent'']], wenn sie dieselben Nullmengen besitzen. |
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Das heißt, es gilt sowohl <math>\mu \ll \nu</math> als auch <math>\nu \ll \mu</math>, sie sind gegenseitig [[Absolut stetiges Maß|absolut stetig]]. |
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Hierdurch ist tatsächlich eine [[Äquivalenzrelation]] auf Maßen erklärt. |
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Wir nehmen im Weiteren an, <math>\mu \not\equiv 0</math> sei nicht das Nullmaß. |
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Viele der Anwendungen <math>\sigma</math>-endlicher Maße ergeben sich nun aus dem folgenden Satz: |
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:''Jedes <math>\sigma</math>-endliche Maß <math>\mu</math> ist äquivalent zu einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math>.'' |
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Die Bedeutung des Satzes liegt in der Äquivalenz zu einem ''endlichen'' Maß, selbst dann, wenn <math>\mu(X) = \infty</math> unendlich ist. |
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Insbesondere gibt es stets eine [[Integralrechnung#Axiomatischer Zugang|<math>\mu</math>-integrierbare]] Funktion <math>w \in L^1(\mu)</math>, so dass <math>0 < w(x) < 1</math> für alle <math>x \in X</math> gilt. |
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== Definition für Mengenfunktionen == |
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=== Definition === |
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Gegeben sei ein [[Mengensystem]] <math> \mathcal M </math> auf der Grundmenge <math> X </math>, also <math> \mathcal M \subset \mathcal P (X) </math>. Sei |
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:<math> \mu: \mathcal M \to [0,\infty] </math> |
:<math> \mu: \mathcal M \to [0,\infty] </math> |
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eine positive Mengenfunktion. Dann heißt die Mengenfunktion |
eine positive Mengenfunktion. Dann heißt die Mengenfunktion <math>\sigma</math>-endlich, wenn es eine [[abzählbar unendlich|abzählbare]] Folge <math> (A_n)_{n \in \N} </math> von Mengen aus <math> \mathcal M </math> gibt, so dass |
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:<math> \bigcup_{n=1}^\infty A_n = X </math> |
:<math> \bigcup_{n=1}^\infty A_n = X </math> |
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:<math> \mu(A_n)< \infty \text{ für alle } n \in \N </math> |
:<math> \mu(A_n)< \infty \text{ für alle } n \in \N </math> |
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gilt. Insbesondere muss die Menge <math> X </math> aber nicht im Mengensystem <math> \mathcal M </math> enthalten sein. |
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=== Bemerkung === |
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Ist <math> \mu </math> ein [[Maß (Mathematik)|Maß]] und σ-endlich auf der [[σ-Algebra]] <math> \mathcal A </math>, so nennt man den [[Maßraum]] <math> (X, \mathcal A, \mu ) </math> auch einen ''σ-endlichen Maßraum''. |
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⚫ | Mit der obigen Definition lässt sich die <math> \sigma</math>-Endlichkeit auf allgemeinere Mengenfunktionen ausweiten. Eine der wichtigsten Anwendungen dieses Begriffes ist der [[Maßerweiterungssatz von Carathéodory]], nach dem jedes ''<math>\sigma</math>-endliche'' Prämaß auf einem Halbring ''eindeutig'' zu einem [[Maß (Mathematik)|Maß]] auf der erzeugten [[σ-Algebra|<math>\sigma</math>-Algebra]] fortsetzbar ist. Ohne die <math>\sigma</math>-Endlichkeit folgt hier nicht die Eindeutigkeit. |
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== Verwandte Begriffe == |
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Ein dem <math>\sigma</math>-endlichen Maß verwandter Begriff ist der eines [[Moderates Maß|moderaten Maßes]]. Hierbei handelt es sich um ein [[Borel-Maß]], für das eine abzählbare Überdeckung der Grundmenge mit offenen Mengen endlichen Maßes existiert. |
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⚫ | *Nicht endliche Maße können [[ |
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Zudem existiert ein Begriff der [[s-finites Maß|s-Finitheit]]. Man nennt ein Maß <math> \mu </math> <math>s</math>-finit, falls es die [[Abzählbarkeit|abzählbare]] Summe von endlichen Maßen ist. Jedes <math>\sigma</math>-endliche Maß ist immer <math>s</math>-finit, aber nicht jedes <math>s</math>-finite Maß ist <math>\sigma</math>-endlich. |
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* Das [[Lebesgue-Maß]] auf den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] ist nicht endlich, aber <math>\sigma</math>-endlich. Denn betrachtet man die Intervalle <math>[k, k+1]</math> für alle ganzen Zahlen <math>k</math>, so hat jedes Intervall das Maß 1, und <math>\mathbb{R}</math> ist deren Vereinigung. |
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* Ist eine [[lokalkompakt]]e [[topologische Gruppe]] [[σ-kompakt|<math>\sigma</math>-kompakt]], so ist ihr [[Haarmaß]] <math>\sigma</math>-endlich. |
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== Inhalte und Prämaße == |
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== Literatur == |
== Literatur == |
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*{{Literatur |
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*{{Literatur|Autor=Jürgen Elstrodt|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=6., korrigierte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2009|ISBN=978-3-540-89727-9|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}} |
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|Autor=Jürgen Elstrodt |
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*{{Literatur|Autor=Achim Klenke|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}} |
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|Titel=Maß- und Integrationstheorie |
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|Auflage=6., korrigierte |
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|Verlag=Springer-Verlag |
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|Ort=Berlin Heidelberg |
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|Datum=2009 |
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|ISBN=978-3-540-89727-9 |
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|Autor=[[Achim Klenke]] |
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*{{Literatur |
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|Autor=[[Walter Rudin]] |
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|Titel=Real and Complex Analysis |
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|Auflage=3. |
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|Verlag=McGraw-Hill |
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|Ort=New York |
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|Datum=1987 |
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{{SORTIERUNG:SigmaEndlichkeit}} |
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[[Kategorie:Maßtheorie]] |
[[Kategorie:Maßtheorie]] |
Aktuelle Version vom 7. Juni 2024, 16:24 Uhr
Der Begriff der -Endlichkeit (auch -Finitheit) wird in der mathematischen Maßtheorie verwendet und liefert eine Abstufung von (messbaren) Mengen von unendlichem Maß in -endliche und nicht -endliche Mengen. Er wird aus ähnlichen Gründen eingeführt wie der Begriff der Abzählbarkeit bezüglich der Anzahl von Elementen einer Menge. Allgemein ist die -Endlichkeit eine Eigenschaft von Mengenfunktionen in Verbindung mit einem Mengensystem. Oftmals wird aber auf die Angabe des Mengensystems verzichtet, wenn klar ist, um welches es sich handelt.
Definition für Maße
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Gegeben sei ein Messraum . Dann heißt ein Maß ein -endliches Maß, wenn es eine der drei folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:
- Es existieren abzählbar viele Mengen aus , die außerdem für alle erfüllen und die überdecken. Es gilt also
- .
- Es existieren abzählbar viele disjunkte Mengen aus , die außerdem für alle erfüllen und die überdecken. Es gilt also
- .
- Es existiert eine strikt positive (d. h. für alle ) messbare Funktion , so dass
- .
Der Maßraum wird dann auch als -endlicher Maßraum bezeichnet. Allgemeiner wird ein signiertes Maß -endlich genannt, wenn seine Variation -endlich ist.
Beispiele
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Das Lebesgue-Maß auf den reellen Zahlen, versehen mit der Borelschen σ-Algebra, ist nicht endlich, aber -endlich. Denn betrachtet man die Mengen
- ,
so ist und
- .
Somit erfüllt das Lebesgue-Maß das erste Kriterium in der obigen Konstruktion. Eine disjunkte Überdeckung mit Mengen endlichen Maßes wie im zweiten Punkt der Definition liefern beispielsweise die Mengen
- ,
wobei ist. Dann ist und es gilt wieder
- .
Eine strikt positive Funktion mit endlichem Integral wie im dritten Punkt der Definition gefordert erhält man beispielsweise durch
- .
Hierbei ist die Indikatorfunktion auf der Menge .
Zu beachten ist, dass -Endlichkeit immer eine Eigenschaft eines Maßes in Kombination mit einem Messraum ist. So ist das Zählmaß auf einer Menge , versehen mit der Potenzmenge als -Algebra endlich, wenn endlich ist und genau dann -endlich, wenn höchstens abzählbar ist.
Anwendung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Nicht endliche Maße können pathologische Eigenschaften aufweisen, jedoch sind viele der häufig betrachteten Maße nicht endlich. Die Klasse der -endlichen Maße teilt mit den endlichen Maßen einige angenehme Eigenschaften, -Endlichkeit kann in dieser Hinsicht mit der Separabilität von topologischen Räumen verglichen werden. Einige Sätze der Analysis, wie der Satz von Radon-Nikodým und der Satz von Fubini, gelten zum Beispiel nicht mehr für nicht -endliche Maße (mitunter ist jedoch eine Übertragung auf allgemeinere Fälle möglich, indem man den Satz für alle -endlichen Teilräume anwendet).
- Das Birkhoff-Integral für Banachraum-wertige Funktionen wird mit Hilfe von -endlichen Maßen definiert.
Äquivalenz zu Wahrscheinlichkeitsmaßen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Zwei Maße und auf einem gemeinsamen Messraum heißen äquivalent, wenn sie dieselben Nullmengen besitzen. Das heißt, es gilt sowohl als auch , sie sind gegenseitig absolut stetig. Hierdurch ist tatsächlich eine Äquivalenzrelation auf Maßen erklärt. Wir nehmen im Weiteren an, sei nicht das Nullmaß.
Viele der Anwendungen -endlicher Maße ergeben sich nun aus dem folgenden Satz:
- Jedes -endliche Maß ist äquivalent zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß .
Die Bedeutung des Satzes liegt in der Äquivalenz zu einem endlichen Maß, selbst dann, wenn unendlich ist. Insbesondere gibt es stets eine -integrierbare Funktion , so dass für alle gilt.
Definition für Mengenfunktionen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Gegeben sei ein Mengensystem auf der Grundmenge , also . Sei
eine positive Mengenfunktion. Dann heißt die Mengenfunktion -endlich, wenn es eine abzählbare Folge von Mengen aus gibt, so dass
gilt und
gilt. Insbesondere muss die Menge aber nicht im Mengensystem enthalten sein.
Bemerkung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Mit der obigen Definition lässt sich die -Endlichkeit auf allgemeinere Mengenfunktionen ausweiten. Eine der wichtigsten Anwendungen dieses Begriffes ist der Maßerweiterungssatz von Carathéodory, nach dem jedes -endliche Prämaß auf einem Halbring eindeutig zu einem Maß auf der erzeugten -Algebra fortsetzbar ist. Ohne die -Endlichkeit folgt hier nicht die Eindeutigkeit.
Verwandte Begriffe
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein dem -endlichen Maß verwandter Begriff ist der eines moderaten Maßes. Hierbei handelt es sich um ein Borel-Maß, für das eine abzählbare Überdeckung der Grundmenge mit offenen Mengen endlichen Maßes existiert.
Zudem existiert ein Begriff der s-Finitheit. Man nennt ein Maß -finit, falls es die abzählbare Summe von endlichen Maßen ist. Jedes -endliche Maß ist immer -finit, aber nicht jedes -finite Maß ist -endlich.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
- Walter Rudin: Real and Complex Analysis. 3. Auflage. McGraw-Hill, New York 1987 (englisch).