Benutzer:NikelsenH

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Mathematikstudent im fortgeschrittenen semester sowie Geologiestudent aus privatem interesse

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Diese Person studiert Mathematik.

Zurzeit einige meiner Babys hier:

sowie mal n bissl Ordnung in die Kategorisierung der Matritzen bringen.

(Leider ist die Rechtschreibung keine meiner Stärken, danke an alle User die sich die Mühe machen das Auszubessern)

Baustelle

Hier sind rohentwürfe zu beiträgen zu finden oder auch nur fragmentarische gedanken was so noch alles zu tun ist

adjazenzmatrix

präzise mathematische formulierung, wei schlagen sich eigenschaften von graphen in der adjazenzmatrix nieder?? (symmetrie = ungerichtet etc pp) zugriff bzw speicher in landaunotation wann inf und wann 0 in der adjazenzmatrix?? Der zugriff aud die adjazenzmatrix erfolgt in ${\mathcal {O}}(1)$ , der benötigte speicher ist von ${\mathcal {O}}(n^{2})$ wobei n die anzahl der Knoten im graph ist

Übergangsgraph

neu anlegen?? zur veranschaulichung zeitlich diskreter und invarianter Markovketten mit endlichem zustandsraum. würde ne gute brücke zwischen stochastik (markovkette) lineare algebra (übergangsmatrix=adjazenzmatrix des übergangsgraphs) und graphentheorie schlagen. insbes könnte man bei PageRank nen schönen ansatz für allgemeine netzwerke hiinzufügen: über die adjazenzmatrix zur markovkette zum pagerank

Definition

Ein gerichteter und kantengewichteter Graph $G$ heißt Übergangsgraph, wenn für jeden knoten i die Gewichte der von i ausgehenden Kanten größergleich 0 sind und sich zu 1 aufsummieren.

$\sum _{i\in N_{G}^{+}(i)}c_{ij}=1$

Dabei ist N_G⁺(X) die Nachfolgermenge von knoten i, also die Menge aller von i ausgehenden Kanten.

Äquivalent dazu ist, dass der Graph $G$ Adjazenzgraph einer zeilenstochastischen Matrix ist.

Verwendung

Übergangsgraphen dienen zur anschaulichen Darstellung von homogenen Markovketten mit endlichem Zustandsraum in diskreter Zeit. Dabei entspricht jeder Knoten einem Zustand des Systems und die Kantengewichte sind die Übergangswarscheinlichkeiten zwischen den Zustanden. Dann ist $c_{ij}$ genau die Warscheinlichkeit, vom Zustand $i$ in den Zustand $j$ zu Wechseln. Einige eigenschaften der Markov-Kette finden sich direkt im Übergangsgraph wieder: der Übergangsgraph ist genau dann stark Zusammenhängend, wenn die Markovkette irreduzibel ist.

Literatur

Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4. Auflage, de Gruyter, 2009. ISBN 978-3-110-21526-7

Kategorie!!!

irreduzible matrix

wichtig wegen der äquivalenz irreduzible markovkette äquiv irreduzible matrix bzw irreduzible adjazenzmatrix äquiv stark zusammenhängender graph und zur verschlankung vom satz von perron frobenius. schönes beispiel ausdenken!! (Äquivalenzen recherchieren)

Adjazenzgraph

bla

Spektrum

hat das nich eig nen eigenen artikel verdient?? kommt so oft vor, wird aber jedes mal neu definiert

Spektrale lücke (engl. eigengap:)

wichtig für konvergenz numerischer verfahren (insbes Potenzmethode). RECHERCHE!!

Pagerank

viel arbeit zu tun: ansatz als markovkette, lösungsansätze für das EW- bzw LGS problem, etc pp. erstmal gute basis schaffen mit der adjazenzmatrix, übergangsmatrix etc

Potenzmethode

detaillierterer beweiß für den nichtdiagonalisierbaren fall?? oderist das matheoverkill?? argumentation bei verwendung_ pagerank hat gut separierte eigenwerte!!!

Übergangsmatrix

substochastisch näher ausführen (evtl auslagern), Invarianz unter matrixmultiplikation!! stochastischer vektor ausführen??

Lieblingsliteratur

Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra: Grundlagen und Anwendungen. 1. Auflage. Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-32185-6.
Josef Stoer, Roland Bulirsch: Numerische Mathematik 2. 5. Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-23777-8.
Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4. Auflage, de Gruyter, 2009. ISBN 978-3-110-21526-7

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