„Translationsinvariante Funktion“ – Versionsunterschied
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Korrigiert, natürlich ändert sich die Abbildung, es geht darum dass sich der Wert nicht ändert. Das mit dem Abschnitt unverständliches ist schon lustig :-) |
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Als '''Translationsinvariant''' werden in der [[Mathematik]] |
Als '''Translationsinvariant''' werden in der [[Mathematik]] Abbildungen bezeichnet, deren Wert sich unter einer [[Translation (Mathematik)|Translationen]] nicht ändert. |
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== Beispiel: translationsinvariante Metriken auf Vektorräumen == |
== Beispiel: translationsinvariante Metriken auf Vektorräumen == |
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Sei V ein Vektorraum und d: V |
Sei ''V'' ein Vektorraum und <math>d: V \times V \to \R</math> eine Metrik. Dann heißt ''d'' translationsinvariant, wenn für alle ''u'', ''v'', ''w'' |
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:<math>d(u+w,v+w) = d(u,v)</math> |
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gilt. |
gilt. |
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== Translationsinvarianz in Gruppen == |
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== Allgemeine Definition == |
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Sei X eine Menge mit einer transitiven Operation einer Gruppe G. Dann induziert |
Sei ''X'' eine Menge mit einer transitiven Operation einer Gruppe ''G''. Dann induziert |
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:<math>x \to gx</math> |
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für jedes Element g von G einen Automorphismus von X und damit einen Automorphismus auf jeder funktoriellen Konstruktion F(X) auf X. Die G-Invarianten in F(X) werden translationsinvariant genannt. |
für jedes Element ''g'' von ''G'' einen Automorphismus von ''X'' und damit einen Automorphismus auf jeder funktoriellen Konstruktion ''F(X)'' auf ''X''. Die ''G''-Invarianten in ''F(X)'' werden translationsinvariant genannt. |
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Für eine Gruppe G und X=G kann man durch |
Für eine Gruppe ''G'' und ''X=G'' kann man durch |
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:<math>h \to gh</math> und <math>h \to hg^{−1}</math> |
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zwei G-Räume definieren, die zugehörige Translationsinvarianz wird Links- bzw. Rechtsinvarianz genannt. |
zwei G-Räume definieren, die zugehörige Translationsinvarianz wird Links- bzw. Rechtsinvarianz genannt. |
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== Beispiele == |
== Beispiele == |
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* Konstante Funktionen sind translationsinvariant. |
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* Die [[Lie-Algebra]] einer [[Lie-Gruppe]] ist der Raum der linksinvarianten Vektorfelder. |
* Die [[Lie-Algebra]] einer [[Lie-Gruppe]] ist der Raum der linksinvarianten Vektorfelder. |
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* Ein [[Haar-Maß]] auf einer [[topologische Gruppe|topologischen Gruppe]] ist links- bzw. rechtsinvariant. Spezialfall: [[Lebesgue-Maß]] |
* Ein [[Haar-Maß]] auf einer [[topologische Gruppe|topologischen Gruppe]] ist links- bzw. rechtsinvariant. Spezialfall: [[Lebesgue-Maß]] |
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* Das [[Petersson-Skalarprodukt]] auf der [[obere Halbebene|oberen Halbebene]] wird mit Hilfe eines SL(2,R)-invarianten Maßes definiert. |
* Das [[Petersson-Skalarprodukt]] auf der [[obere Halbebene|oberen Halbebene]] wird mit Hilfe eines SL(2,R)-invarianten Maßes definiert. |
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== Sonstiges == |
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Translationsinvariant ist auch eine [[Stochastik|stochastische Funktion]], die nur um additive (oder subtraktive) Komponenten verändert wird. Hierbei werden die Gesetzmäßigkeiten, die mit der Funktion beschrieben werden, nicht berührt. Nur die [[Mittelwert|Mittel-]] bzw. [[Skala|Skalenwerte]] verändern sich. |
Translationsinvariant ist auch eine [[Stochastik|stochastische Funktion]], die nur um additive (oder subtraktive) Komponenten verändert wird. Hierbei werden die Gesetzmäßigkeiten, die mit der Funktion beschrieben werden, nicht berührt. Nur die [[Mittelwert|Mittel-]] bzw. [[Skala|Skalenwerte]] verändern sich. |
Version vom 15. Oktober 2007, 09:38 Uhr
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Als Translationsinvariant werden in der Mathematik Abbildungen bezeichnet, deren Wert sich unter einer Translationen nicht ändert.
Beispiel: translationsinvariante Metriken auf Vektorräumen
Sei V ein Vektorraum und eine Metrik. Dann heißt d translationsinvariant, wenn für alle u, v, w
gilt.
Translationsinvarianz in Gruppen
Sei X eine Menge mit einer transitiven Operation einer Gruppe G. Dann induziert
für jedes Element g von G einen Automorphismus von X und damit einen Automorphismus auf jeder funktoriellen Konstruktion F(X) auf X. Die G-Invarianten in F(X) werden translationsinvariant genannt.
Für eine Gruppe G und X=G kann man durch
- und Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle h \to hg^{−1}}
zwei G-Räume definieren, die zugehörige Translationsinvarianz wird Links- bzw. Rechtsinvarianz genannt.
Beispiele
- Konstante Funktionen sind translationsinvariant.
- Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ist der Raum der linksinvarianten Vektorfelder.
- Ein Haar-Maß auf einer topologischen Gruppe ist links- bzw. rechtsinvariant. Spezialfall: Lebesgue-Maß
- Das Petersson-Skalarprodukt auf der oberen Halbebene wird mit Hilfe eines SL(2,R)-invarianten Maßes definiert.
Sonstiges
Translationsinvariant ist auch eine stochastische Funktion, die nur um additive (oder subtraktive) Komponenten verändert wird. Hierbei werden die Gesetzmäßigkeiten, die mit der Funktion beschrieben werden, nicht berührt. Nur die Mittel- bzw. Skalenwerte verändern sich.