Translationsinvariante Funktion

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Als Translationsinvariant werden in der Mathematik Funktionen oder andere Dinge bezeichnet, die sich unter Translationen nicht ändern.

Beispiel: translationsinvariante Metriken auf Vektorräumen

Sei V ein Vektorraum und d: V × V → R eine Metrik. Dann heißt d translationsinvariant, wenn für alle u,v,w

d(u+w,v+w) = d(u,v)

gilt.

Allgemeine Definition

Sei X eine Menge mit einer transitiven Operation einer Gruppe G. Dann induziert

x → gx

für jedes Element g von G einen Automorphismus von X und damit einen Automorphismus auf jeder funktoriellen Konstruktion F(X) auf X. Die G-Invarianten in F(X) werden translationsinvariant genannt.

Für eine Gruppe G und X=G kann man durch

h → gh und h → hg⁻¹

zwei G-Räume definieren, die zugehörige Translationsinvarianz wird Links- bzw. Rechtsinvarianz genannt.

Beispiele

• Translationsinvariante Funktionen sind dasselbe wie konstante Funktionen.
• Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ist der Raum der linksinvarianten Vektorfelder.
• Ein Haar-Maß auf einer topologischen Gruppe ist links- bzw. rechtsinvariant. Spezialfall: Lebesgue-Maß
• Das Petersson-Skalarprodukt auf der oberen Halbebene wird mit Hilfe eines SL(2,R)-invarianten Maßes definiert.

Unverständliches

Translationsinvariant ist auch eine stochastische Funktion, die nur um additive (oder subtraktive) Komponenten verändert wird. Hierbei werden die Gesetzmäßigkeiten, die mit der Funktion beschrieben werden, nicht berührt. Nur die Mittel- bzw. Skalenwerte verändern sich.