Translationsinvariante Funktion

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Als Translationsinvariant werden in der Mathematik Abbildungen bezeichnet, deren Wert sich unter einer Translationen nicht ändert. Genauer heißt ein Funktional $F:f(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R}$ translationsinvariant, wenn sich der Wert des Funktionals nicht ändert, wenn die Funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ einer Translation mit Verschiebungsvektor $a\in \mathbb {R} ^{n}$ unterzogen wird: $Tf(x)=f(x-a)$.

Beispiele

• Konstante Funktionen sind translationsinvariant.
• Ein Haar-Maß auf einer topologischen Gruppe ist translationssinvariant. Ein Spezialfall davon ist das Lebesgue-Maß. Anschaulich bedeutet dies, dass sich der Wert eines Integrals nicht ändert, wenn der Definitionsbereich verschoben wird.
• Das Petersson-Skalarprodukt auf der oberen Halbebene wird mit Hilfe eines SL(2,R)-invarianten Maßes definiert.

Translationsinvarianz in Gruppen

Sei X eine Menge mit einer transitiven Operation einer Gruppe G. Dann induziert

$x\to gx$

für jedes Element g von G einen Automorphismus von X und damit einen Automorphismus auf jeder funktoriellen Konstruktion F(X) auf X. Die G-Invarianten in F(X) werden translationsinvariant genannt.

Für eine Gruppe G und X=G kann man durch

$h\to gh$ und $h\to hg^{-1}$

zwei G-Räume definieren, die zugehörige Translationsinvarianz wird Links- bzw. Rechtsinvarianz genannt.

Beispielsweise ist die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe der Raum der linksinvarianten Vektorfelder.

Sonstiges

Translationsinvariant ist auch eine stochastische Funktion, die nur um additive (oder subtraktive) Komponenten verändert wird. Hierbei werden die Gesetzmäßigkeiten, die mit der Funktion beschrieben werden, nicht berührt. Nur die Mittel- bzw. Skalenwerte verändern sich.

Literatur

• Otto Forster: Analysis 3. Integralrechnung im Rⁿ mit Anwendungen. 3. Aufl. Vieweg-Verlag, 1996. ISBN 3-528-27252-X
• Konrad Königsberger: Analysis 2, Springer, Berlin 2004.