„Translationsinvariante Funktion“ – Versionsunterschied
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Als '''Translationsinvariant''' werden in der [[Mathematik]] [[Funktion (Mathematik)|Abbildungen]] bezeichnet, deren Wert sich unter einer [[Translation (Mathematik)|Translationen]] nicht ändert. Genauer heißt ein [[Funktional]] <math>F:f(\R^n) \to \R</math> translationsinvariant, wenn sich der Wert des Funktionals nicht ändert, wenn die Funktion <math>f:\R^n \to \R</math> einer Translation mit Verschiebungsvektor <math>a \in \R^n</math> unterzogen wird: <math>Tf(x) = f(x-a)</math>.
== Beispiele ==
*
* Ein [[Haar-Maß]] auf einer [[topologische Gruppe|topologischen Gruppe]] ist translationssinvariant. Ein Spezialfall davon ist das [[Lebesgue-Maß]]. Anschaulich bedeutet dies, dass sich der Wert eines [[Integralrechnung|Integrals]] nicht ändert, wenn der Definitionsbereich verschoben wird.
* Die [[Lie-Algebra]] einer [[Lie-Gruppe]] ist der Raum der linksinvarianten Vektorfelder.▼
* Das [[Petersson-Skalarprodukt]] auf der [[obere Halbebene|oberen Halbebene]] wird mit Hilfe eines SL(2,R)-invarianten Maßes definiert.
== Translationsinvarianz in Gruppen ==
Sei ''X'' eine Menge mit einer transitiven Operation einer [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] ''G''. Dann induziert
:<math>x \to gx</math>
für jedes Element ''g'' von ''G'' einen [[Automorphismus]] von ''X'' und damit einen Automorphismus auf jeder funktoriellen Konstruktion ''F(X)'' auf ''X''. Die ''G''-Invarianten in ''F(X)'' werden translationsinvariant genannt.
Für eine Gruppe ''G'' und ''X=G'' kann man durch
:<math>h \to gh</math> und <math>h \to hg^{-1}</math>
zwei G-Räume definieren, die zugehörige Translationsinvarianz wird Links- bzw. Rechtsinvarianz genannt.
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== Sonstiges ==
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Translationsinvariant ist auch eine [[Stochastik|stochastische Funktion]], die nur um additive (oder subtraktive) Komponenten verändert wird. Hierbei werden die Gesetzmäßigkeiten, die mit der Funktion beschrieben werden, nicht berührt. Nur die [[Mittelwert|Mittel-]] bzw. [[Skala|Skalenwerte]] verändern sich.
== Literatur ==
* [[Otto Forster]]: ''Analysis 3. Integralrechnung im'' R<sup>''n''</sup>'' mit Anwendungen.'' 3. Aufl. Vieweg-Verlag, 1996. ISBN 3-528-27252-X
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 2'', Springer, Berlin 2004.
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Analysis]]
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Version vom 15. Oktober 2007, 11:26 Uhr
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Als Translationsinvariant werden in der Mathematik Abbildungen bezeichnet, deren Wert sich unter einer Translationen nicht ändert. Genauer heißt ein Funktional translationsinvariant, wenn sich der Wert des Funktionals nicht ändert, wenn die Funktion einer Translation mit Verschiebungsvektor unterzogen wird: .
Beispiele
- Konstante Funktionen sind translationsinvariant.
- Ein Haar-Maß auf einer topologischen Gruppe ist translationssinvariant. Ein Spezialfall davon ist das Lebesgue-Maß. Anschaulich bedeutet dies, dass sich der Wert eines Integrals nicht ändert, wenn der Definitionsbereich verschoben wird.
- Das Petersson-Skalarprodukt auf der oberen Halbebene wird mit Hilfe eines SL(2,R)-invarianten Maßes definiert.
Translationsinvarianz in Gruppen
Sei X eine Menge mit einer transitiven Operation einer Gruppe G. Dann induziert
für jedes Element g von G einen Automorphismus von X und damit einen Automorphismus auf jeder funktoriellen Konstruktion F(X) auf X. Die G-Invarianten in F(X) werden translationsinvariant genannt.
Für eine Gruppe G und X=G kann man durch
- und
zwei G-Räume definieren, die zugehörige Translationsinvarianz wird Links- bzw. Rechtsinvarianz genannt.
Beispielsweise ist die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe der Raum der linksinvarianten Vektorfelder.
Sonstiges
Translationsinvariant ist auch eine stochastische Funktion, die nur um additive (oder subtraktive) Komponenten verändert wird. Hierbei werden die Gesetzmäßigkeiten, die mit der Funktion beschrieben werden, nicht berührt. Nur die Mittel- bzw. Skalenwerte verändern sich.
Literatur
- Otto Forster: Analysis 3. Integralrechnung im Rn mit Anwendungen. 3. Aufl. Vieweg-Verlag, 1996. ISBN 3-528-27252-X
- Konrad Königsberger: Analysis 2, Springer, Berlin 2004.