Postnikow-Turm
Ein Postnikow-Turm oder Postnikow-System ist im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie eine Methode, einen gegebenen topologischen Raum in Eilenberg-MacLane-Räume zu zerlegen, was zum Beispiel die Berechnung seiner Homologiegruppen mittels Spektralsequenzen ermöglicht.
Definition
Es sei ein gegebener topologischer Raum. Ein Postnikov-Turm von ist eine Folge
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von Abbildungen topologischer Räume mit folgenden Eigenschaften
- für alle ist eine Faserung
- für alle ist
- für alle ist .
Eigenschaften
- Ein Postnikow-Turm existiert für jeden CW-Komplex . Man erhält aus indem duch Ankleben von Zellen der Dimensionen an die Homotopiegruppen in Graden "getötet" werden.
- ist ein Eilenberg-MacLane-Raum und die Faser der Faserung ist ein Eilenberg-MacLane-Raum .
- Die Abbildung von in den projektiven Limes ist eine schwache Homotopieäquivalenz.
- Falls die Wirkung von auf für trivial ist, lassen sich die Faserungen als Hauptfaserbündel realisieren.
Literatur
- M. M. Postnikow: Determination of the homology groups of a space by means of the homotopy invariants. (Russisch) Doklady Akad. Nauk SSSR (N.S.) 76, (1951), 359–362.
- R. Bott - L. W. Tu: Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. ISBN 0-387-90613-4
- Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79160-X; 0-521-79540-0
- P. Griffiths - J. Morgan: Rational homotopy theory and differential forms. Second edition. Progress in Mathematics, 16. Springer, New York, 2013. ISBN 978-1-4614-8467-7; 978-1-4614-8468-4