Postnikow-Turm

Ein Postnikow-Turm oder Postnikow-System ist im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie eine Methode, einen gegebenen topologischen Raum in Eilenberg-MacLane-Räume zu zerlegen, was zum Beispiel die Berechnung seiner Homologiegruppen mittels Spektralsequenzen ermöglicht.

Definition

Es sei $X$ ein gegebener topologischer Raum. Ein Postnikov-Turm von $X$ ist eine Folge

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von Abbildungen topologischer Räume mit folgenden Eigenschaften

• für alle $n$ ist $Y_{n}\to Y_{n-1}$ eine Faserung
• für alle $k>n$ ist $\pi _{k}Y_{n}=0$
• für alle $k\leq n$ ist $\pi _{k}Y_{n}=\pi _{k}X$.

Eigenschaften

• Ein Postnikow-Turm existiert für jeden CW-Komplex $X$. Man erhält $Y_{n}$ aus $X$ indem duch Ankleben von Zellen der Dimensionen $\geq n+2$ an $X$ die Homotopiegruppen in Graden $\geq n+1$ "getötet" werden.
• $X_{1}$ ist ein Eilenberg-MacLane-Raum $K(\pi _{1}X,1)$ und die Faser der Faserung $Y_{n}\to Y_{n-1}$ ist ein Eilenberg-MacLane-Raum $K(\pi _{n}X,n)$.
• Die Abbildung von $X$ in den projektiven Limes $\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }Y_{n}$ ist eine schwache Homotopieäquivalenz.
• Falls die Wirkung von $\pi _{1}X$ auf $\pi _{n}X$ für $n>1$ trivial ist, lassen sich die Faserungen $Y_{n}\to Y_{n-1}$ als Hauptfaserbündel realisieren.

Literatur

• M. M. Postnikow: Determination of the homology groups of a space by means of the homotopy invariants. (Russisch) Doklady Akad. Nauk SSSR (N.S.) 76, (1951), 359–362.
• R. Bott - L. W. Tu: Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. ISBN 0-387-90613-4
• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79160-X; 0-521-79540-0
• P. Griffiths - J. Morgan: Rational homotopy theory and differential forms. Second edition. Progress in Mathematics, 16. Springer, New York, 2013. ISBN 978-1-4614-8467-7; 978-1-4614-8468-4

Weblinks

• Killing homotopy groups: Postnikov and Whitehead towers