Benutzer:Jensel/CGS

Basierend auf Benutzer_Diskussion:Pewa#Tabelle2

Original

Ausgangspunkt: Allgemeines Dimensionsprodukt für em-Einheiten:

\dim G=M^{\alpha }L^{\beta }T^{\gamma }(\dim \alpha _{1})^{\delta /2}(\dim \alpha _{2}/\alpha _{1})^{\varepsilon }\,

Die Wahl von Wurzel α1 und α2/α1 ist äquivalent zu obigen Konstanten und macht die folgenden Ausdrücke etwas einfacher.

Wie sehen die Dimensionen der beiden neuen Konstanten aus?

dim	ESU	EMU	G/HL	MKSA
$\alpha _{1}^{1/2}$	1	$L^{1}T^{-1}$	1	$M^{1/2}L^{3/2}T^{-2}I^{-1}$
$\alpha _{2}/\alpha _{1}$	1	1	$L^{1}T^{-1}$	1

Die eigentliche Tabelle

	α	β	γ	δ	ε
dim	M	L	T
Q	1/2	3/2	-1	-1	0
I	1/2	3/2	-2	-1	0
U	1/2	1/2	-1	1	0
μ	1/2	7/2	-2	-1	-1
Φ	1/2	1/2	0	1	1
Um, Θ	1/2	3/2	-2	-1	-1
E	1/2	-1/2	-1	1	0
D	1/2	-1/2	-1	-1	0
B	1/2	-3/2	0	1	1
H	1/2	1/2	-2	-1	-1
R	0	-1	1	2	0
C	0	1	0	-2	0
L	0	-1	2	2	0

Anmerkungen: Man erhält wie gesagt die Dimensionen in einem beliebigen Einheitensystem, wenn man die Ausdrücke in der ersten Tabelle in die zweite einsetzt. Kannst du gern mal ausprobieren, am einfachsten ist es fürs ESU: Dort fallen schlicht die letzten beiden Spalten weg. Auf die Schnelle erlaubt die Tabelle übrigens ein paar nette Folgerungen:

Die Abhängigkeit von allen em-Einheiten von der Masse ist recht nett. ;-)
Man kann klar zwischen elektrostatischen und magnetostatischen Einheiten unterscheiden.
ESU und Gauss haben die gleichen elektrostatischen Einheiten
EMU und Gauss haben die gleichen magnetostatischen Einheiten

Im SI wird außerdem häufig unterschlagen, dass es nicht ausreicht, einfach nur _eine_ Basiseinheit zu wählen. Man muss die auch die andere Konstante festlegen. Passiert so, dass

\alpha _{2}/\alpha _{1}=1

ist. Ist recht nett, da man dann einfach die letzte Spalte streichen kann. Dadurch sieht man, dass dann Durchflutung und elektrische Stromstärke die gleiche Dimension bekommen – obwohl sie offensichtlich unterschiedlicher Natur sind.

Tabelle2 von Pewa

		α	β	γ	δ	ε	ESU			EMU			Gauß			SI
elektromagnetische Größe	dim	M	L	T			M	L	T	M	L	T	M	L	T	M	L	T	I
Ladung	Q	1/2	3/2	−1	−1	0	1/2	3/2	−1	1/2	1/2	0	1/2	3/2	−1	0	0	1	1
Strom	I	1/2	3/2	−2	−1	0	1/2	3/2	−2	1/2	1/2	−1	1/2	3/2	−2	0	0	0	1
Spannung	U	1/2	1/2	−1	1	0	1/2	1/2	−1	1/2	3/2	−2	1/2	1/2	−1	1	2	−3	−1
magnetisches Dipolmoment	µ	1/2	7/2	−2	−1	−1	1/2	7/2	−2	1/2	5/2	−1	1/2	5/2	−1	0	2	0	1
magnetischer Fluss	Φ	1/2	1/2	0	1	1	1/2	1/2	0	1/2	3/2	−1	1/2	3/2	−1	1	2	−2	−1
magnetische Durchflutung	Θ	1/2	3/2	−2	−1	−1	1/2	3/2	−2	1/2	1/2	−1	1/2	1/2	−1	0	0	0	1
elektrische Feldstärke	E	1/2	−1/2	−1	1	0	1/2	−1/2	−1	1/2	1/2	−2	1/2	−1/2	−1	1	1	−3	−1
elektrische Flussdichte	D	1/2	−1/2	−1	−1	0	1/2	−1/2	−1	1/2	−3/2	0	1/2	−1/2	−1	0	−2	1	1
magnetische Flussdichte	B	1/2	−3/2	0	1	1	1/2	−3/2	0	1/2	−1/2	−1	1/2	−1/2	−1	1	0	−2	−1
magnetische Feldstärke	H	1/2	1/2	−2	−1	−1	1/2	1/2	−2	1/2	−1/2	−1	1/2	−1/2	−1	0	−1	0	1
Widerstand	R	0	−1	1	2	0	0	−1	1	0	1	−1	0	−1	1	1	2	−3	−2
Kapazität	C	0	1	0	−2	0	0	1	0	0	−1	2	0	1	0	−1	−2	4	2
Induktivität	L	0	−1	2	2	0	0	−1	2	0	1	0	0	−1	2	1	2	−2	−2
elektrisches Dipolmoment	p	1/2	5/2	−1	−1	0	1/2	5/2	−1	1/2	3/2	0	1/2	5/2	−1	0	1	1	1
elektrische Leistung	P	1	2	−3	0	0	1	2	−3	1	2	−3	1	2	−3	1	2	−3	0

Version für CGS-Einheitensystem

Allgemeine Formulierung der Elektrodynamik

Elektrodynamische Größen sind über mehrere Naturgesetze mit mechanischen Größen verknüpft. Die Elektrodynamik selbst wird vollständig durch die maxwellsche Gleichungen beschrieben, die sich unabhängig vom Einheitensystem mit Hilfe zweier Proportionalitätskonstanten $a_{\text{E}}$ und $a_{\text{M}}$ formulieren lassen:

{\begin{aligned}a_{\text{E}}\cdot {\mbox{div}}\,{\boldsymbol {E}}&={\frac {4\pi }{a_{\text{E}}}}\,\rho \;,&a_{\text{M}}\cdot {\mbox{div}}\,{\boldsymbol {B}}&=0\;,\\a_{\text{E}}\cdot {\mbox{rot}}\,{\boldsymbol {E}}&=-{\frac {a_{\text{M}}}{c}}\,{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}\;,&a_{\text{M}}\cdot {\mbox{rot}}\,{\boldsymbol {B}}&={\frac {4\pi }{a_{\text{E}}c}}\,{\boldsymbol {j}}+{\frac {a_{\text{E}}}{c}}\,{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}\;.\end{aligned}}

In die Gleichungen geht die elektrische Feldstärke ${\boldsymbol {E}}$ mit der Konstanten $a_{\text{E}}$ und die magnetische Flussdichte mit der Konstanten $a_{\text{M}}$ ein. Die externen Erregungen für elektromagnetische Felder, die elektrische Ladungsdichte $\rho$ und die elektrische Stromdichte ${\boldsymbol {j}}$ , koppeln mit der Konstanten $4\pi /a_{\text{E}}$ ^{[A 1]}. Die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit $c$ vermittelt zwischen zeitlichen und räumlichen Änderungen ^{[A 2]}.

Wie aus Umstellungen der obigen Gleichungen ersichtlich, treten $a_{\text{E}}$ und $a_{\text{M}}$ nicht alleinstehend, sondern nur als Produkte $a_{\text{E}}{}^{2}$ und $a_{\text{E}}a_{\text{M}}$ , sowie als Quotient $a_{\text{M}}/a_{\text{E}}$ auf ^{[A 3]}. In der Literatur findet man daher unterschiedliche, äquivalente Definitionen für die nötigen Proportionalitätskonstanten. Der Jackson nutzt beispielsweise die Konstanten $k_{1}$ , $k_{2}$ und $k_{3}$ :

{\begin{aligned}k_{1}&={\frac {4\pi }{a_{\text{E}}^{2}}}\;,&k_{2}&={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {4\pi }{a_{\text{E}}a_{\text{M}}}}{\frac {a_{\text{M}}}{a_{\text{E}}}}={\frac {k_{1}}{c^{2}}}\;,&k_{3}&={\frac {1}{c}}{\frac {a_{\text{M}}}{a_{\text{E}}}}\;.\end{aligned}}

Jedes Einheitensystem der Mechanik kann zur Beschreibung der Elektrodynamik erweitert werden, indem die Größenwerte der Konstanten $a_{\text{E}}$ und $a_{\text{M}}$ – oder die ihrer Produkte und Quotienten – festgelegt werden. Prinzipiell stehen dazu drei Wege offen:

Einführung von einer elektrischen und einer magnetischen Basiseinheit, beispielsweise für die elektrische Ladung $Q$ und für das magnetische Dipolmoment $\mu$ . Hierdurch werden obige Konstanten zu Messgrößen, die mit einer Messunsicherheit behaftet sind.
Wahl von einer neuen Basiseinheit entweder eine elektrische oder eine magnetische Größe und der expliziten Definition der jeweilig anderen Konstanten oder eines der Produkte/Quotienten. Die verbleibenden Konstanten sind dann eine fehlerbehaftete Messgrößen.
Verzicht auf neue Basiseinheiten durch explizite Definition beider Konstanten. Keine Konstante ist dadurch fehlerbehaftet.

Einheitensystem	$a_{\text{E}}$	$a_{\text{M}}$
Elektrostatisches CGS-System	$1$	$c$
Elektromagnetisches CGS-System	$1/c$	$1$
Gaußsche CGS-System	$1$	$1$
Heaviside-Lorentz-Einheitensystem	${\sqrt {4\pi }}$	${\sqrt {4\pi }}$
MKSA-System^{[E 1]}, SI	${\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}$	${\sqrt {4\pi /\mu _{0}}}$
↑ Das MKSA ersetzt $a_{\text{E}}$ und $a_{\text{M}}$ wie angegeben durch $\epsilon _{0}$ und $\mu _{0}$ . Deren Produkt ist definiert zu $\epsilon _{0}\mu _{0}\equiv 1/c^{2}$ , was $a_{\text{M}}/a_{\text{E}}=c$ entspricht.

Im MKSA wurde der zweite Weg mit der Einführung des Amperes als Einheit von $I$ und der Definition $a_{\text{M}}/a_{\text{E}}=c$ (bzw. $1/{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}=c$ ) beschritten. Alle Erweiterungen des CGS Systems setzen hingegen auf den dritten Weg. Nebenstehende Tabelle fast die Definitionen in den unterschiedlichen Einheitensysteme zusammen.

Dimensionsbetrachtung

Die Dimension einer elektromagnetische Größe lässt sich allgemein unter Zuhilfenahme zweier zusätzlichen Dimensionen $A_{\text{E}}=\dim(a_{\text{E}})$ und $A_{\text{M}}={\mbox{dim}}(a_{\text{M}})$ formulieren:

\dim G=M^{\alpha }\,L^{\beta }\,T^{\gamma }\,A_{\text{E}}^{\delta }\,A_{\text{M}}^{\epsilon }

Wie oben sind M, L und T die Dimensionszeichen der mechanischen Basisgrößen Masse, Länge und Zeit. Allerdings treten in dieser allgemeinen Form für die Exponenten α, β, γ, δ und ε neben ganzen auch gebrochen rationale Zahlen auf.

Es ist zu beachten, dass nur die Einheiten eines Systems 5ten Grades 5 unabhängige Basiseinheiten aufweist. Im Dimensionsprodukt tritt anstelle von $A_{\text{E}}$ und $A_{\text{M}}$ die gewählte elektrische und magnetische Basisgröße auf. Falls man hingegen durch Definition von einer oder beiden der Konstanten $a_{\text{E}}$ und $a_{\text{M}}$ ein System 4ten oder 3ten Grades konstruiert, reduziert sich die Anzahl entsprechend. $A_{\text{E}}$ und/oder $A_{\text{M}}$ sind dann durch Konstruktion abhängig von den verbleibenden Dimensionen. Konkret gilt für die Dimension einer Größe im CGS und im MKSA:

{\begin{aligned}\dim _{\text{CGS}}G&=M^{\alpha '}\,L^{\beta '}\,T^{\gamma '}\;,&\dim _{\text{MKSA}}G&=M^{\alpha ''}\,L^{\beta ''}\,T^{\gamma ''}\,I^{\delta ''}\;.\end{aligned}}

Die Striche an der Exponenten der Größe sollen verdeutlichen, dass sich die Dimension einer Größe zwischen MKSA und CGS unterscheiden. Die folgende Tabelle listet die Exponenten der wichtigsten elektromagnetischen Größen im Detail auf.

		α	β	γ	δ	ε	ESU			EMU			Gauß/HL			MKSA/SI
Größe	dim	M	L	T	$A_{\text{E}}$	$A_{\text{M}}$	M	L	T	M	L	T	M	L	T	M	L	T	I
Konstanten
	$a_{\text{E}}$	0	0	0	1	0	0	0	0	0	−1	1	0	0	0	−1/2	−3/2	2	1
	$a_{\text{M}}$	0	0	0	0	1	0	1	−1	0	0	0	0	0	0	−1/2	−1/2	1	1
elektrische Feldgrößen
Ladung	Q	1/2	3/2	−1	1	0	1/2	3/2	−1	1/2	1/2	0	1/2	3/2	−1	0	0	1	1
Strom	I	1/2	3/2	−2	1	0	1/2	3/2	−2	1/2	1/2	−1	1/2	3/2	−2	0	0	0	1
Spannung	U	1/2	1/2	−1	−1	0	1/2	1/2	−1	1/2	3/2	−2	1/2	1/2	−1	1	2	−3	−1
elektrisches Dipolmoment	p	1/2	5/2	−1	1	0	1/2	5/2	−1	1/2	3/2	0	1/2	5/2	−1	0	1	1	1
elektrischer Fluss	Ψ	1/2	3/2	−1	−1	0	1/2	3/2	−1	1/2	5/2	−2	1/2	3/2	−1	1	3	−3	−1
elektrische Feldstärke	E	1/2	−1/2	−1	−1	0	1/2	−1/2	−1	1/2	1/2	−2	1/2	−1/2	−1	1	1	−3	−1
elektrische Flussdichte	D	1/2	−1/2	−1	1	0	1/2	−1/2	−1	1/2	−3/2	0	1/2	−1/2	−1	0	−2	1	1
magnetische Feldgrößen
magnetische Ladung	^{[D 1]}	hypothetisch
magnetischer Strom	^{[D 1]}	hypothetisch
magnetische Durchflutung	Θ	1/2	1/2	−1	0	1	1/2	3/2	−2	1/2	1/2	−1	1/2	1/2	−1	0	0	0	1
magnetisches Dipolmoment	µ	1/2	5/2	−1	0	1	1/2	7/2	−2	1/2	5/2	−1	1/2	5/2	−1	0	2	0	1
magnetischer Fluss	Φ	1/2	3/2	−1	0	−1	1/2	1/2	0	1/2	3/2	−1	1/2	3/2	−1	1	2	−2	−1
magnetische Flussdichte	B	1/2	−1/2	−1	0	−1	1/2	−3/2	0	1/2	−1/2	−1	1/2	−1/2	−1	1	0	−2	−1
magnetische Feldstärke	H	1/2	−1/2	−1	0	1	1/2	1/2	−2	1/2	−1/2	−1	1/2	−1/2	−1	0	−1	0	1
Sonstige
Widerstand	R	0	−1	1	−2	0	0	−1	1	0	1	−1	0	−1	1	1	2	−3	−2
Kapazität	C	0	1	0	2	0	0	1	0	0	−1	2	0	1	0	−1	−2	4	2
Induktivität	L	0	−1	2	−2	0	0	−1	2	0	1	0	0	−1	2	1	2	−2	−2
elektrische Leistung	P	1	2	−3	0	0	1	2	−3	1	2	−3	1	2	−3	1	2	−3	0
↑ ^a ^b Hypothetisch. Magnetische Ladungen und Ströme setzen die Existenz magnetischer Monopole voraus.

Anmerkungen

↑ Wenn magnetische Monopole existierten, träten zusätzlich eine magnetische Ladungsdichte $\rho _{\text{M}}$ und eine magnetische Stromdichte ${\boldsymbol {j}}_{\text{M}}$ als Erregungen der elektromagnetischen Felder auf, die über die Konstante $4\pi /a_{\text{M}}$ eingingen.
↑ In der Literatur findet sich zuweilen eine abweichende Definition der Stromdichte, ${\boldsymbol {j}}'={\boldsymbol {j}}/c$ . In dieser Form fällt der Faktor $1/c$ vor der Stromdichte in den Maxwellgleichungen weg. Stattdessen tritt er vor der zeitlichen Änderung der Ladungsdichte in der Kontinuitätsgleichung auf, was die Bedeutung der Lichtgeschwindigkeit als Vermittelung zwischen zeitlichen und räumlichen Änderungen verdeutlicht.
↑ Zusätzlich träte das Produkt $a_{\text{M}}{}^{2}$ bei Existenz magnetischer Monopole auf

[4] Das MKSA ersetzt $a_{\text{E}}$ und $a_{\text{M}}$ wie angegeben durch $\epsilon _{0}$ und $\mu _{0}$ . Deren Produkt ist definiert zu $\epsilon _{0}\mu _{0}\equiv 1/c^{2}$ , was $a_{\text{M}}/a_{\text{E}}=c$ entspricht.

[monopol-5] Hypothetisch. Magnetische Ladungen und Ströme setzen die Existenz magnetischer Monopole voraus.

[1] Wenn magnetische Monopole existierten, träten zusätzlich eine magnetische Ladungsdichte $\rho _{\text{M}}$ und eine magnetische Stromdichte ${\boldsymbol {j}}_{\text{M}}$ als Erregungen der elektromagnetischen Felder auf, die über die Konstante $4\pi /a_{\text{M}}$ eingingen.

[2] In der Literatur findet sich zuweilen eine abweichende Definition der Stromdichte, ${\boldsymbol {j}}'={\boldsymbol {j}}/c$ . In dieser Form fällt der Faktor $1/c$ vor der Stromdichte in den Maxwellgleichungen weg. Stattdessen tritt er vor der zeitlichen Änderung der Ladungsdichte in der Kontinuitätsgleichung auf, was die Bedeutung der Lichtgeschwindigkeit als Vermittelung zwischen zeitlichen und räumlichen Änderungen verdeutlicht.

[3] Zusätzlich träte das Produkt $a_{\text{M}}{}^{2}$ bei Existenz magnetischer Monopole auf

[A 1]

[A 2]

[A 3]

[E 1]

[D 1]

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