Benutzer:NikelsenH/Invariante Statistik

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Definition

Gegeben sei ein Messraum $(X,{\mathcal {A}}_{X})$ und eine (multiplikativ geschriebene) Gruppe $({\mathcal {G}},\cdot )$. Sei

${\mathcal {U}}=\{u_{\gamma }\mid \gamma \in {\mathcal {G}}\}$

eine Gruppe von messbaren Transformationen auf den Messraum $(X,{\mathcal {A}}_{X})$. Dies bedeutet, dass

• Für alle $\gamma \in {\mathcal {G}}$ sind die Funktionen

$u_{\gamma }\colon (X,{\mathcal {A}}_{X})\to (X,{\mathcal {A}}_{X})$

bijektiv und bimessbar.

• Die Abbildung

$\gamma \mapsto u_{\gamma }$

ist ein Gruppenhomomorphismus von der Gruppe $({\mathcal {g}},\cdot )$ nach ${\mathcal {U}}$, versehen mit der Komposition von Funktionen $\circ$. Für alle $\gamma _{1},\gamma _{2}\in {\mathcal {G}}$ und alle $x\in X$ gilt also

$u_{\gamma _{1}}(u_{\gamma _{1}}(x))=u_{\gamma _{1}\cdot \gamma _{2}}(x)$.

Sei $(Y,{\mathcal {A}}_{Y})$ ein weiterer Messraum. Dann heißt eine messbare Funktion

$S\colon (X,{\mathcal {A}}_{X})\to (Y,{\mathcal {A}}_{Y})$

eine invariante Statistik, wenn

$S(u_{\gamma }(x))=S(x)$

für alle $x\in X$ und alle $\gamma \in {\mathcal {G}}$ (bzw. alle $u_{\gamma }\in {\mathcal {U}}$) gilt.

Beispiele

Betrachte als Beispiel $(X,{\mathcal {A}}_{X})=(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$ und $(Y,{\mathcal {A}}_{Y})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$. Die Gruppe ${\mathcal {G}}$ seien die reellen Zahlen $\mathbb {R}$, versehen mit der Addition $+$ als Verknüpfung. Für $\gamma \in \mathbb {R}$ definiere die bijektive, bimessbare Abbildung

$u_{\gamma }(x)=x+\gamma \mathbf {1}$.

Hierbei bezeichnet $\mathbf {1}$ den Einsvektor. Die Abbildung $u_{\gamma }$ verschiebt also jeden Vektor $x$ um $\gamma$ entlang der Diagonalen.

Bezeichnet man mit ${\overline {x}}$ das arithmetische Mittel des Vektors $x$, so ist eine invariante Statistik gegeben durch die empirische Varianz

$S(x)={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}$,

siehe auch Empirische Varianz#Verhalten bei Transformationen.

Eigenschaften

Verhalten auf Orbits

Bezeichnet man mit

${\mathcal {O}}_{x^{*}}:=\{x\in X\mid {\text{ es existiert ein }}\gamma \in {\mathcal {G}},{\text{ so dass }}u_{\gamma }(x^{*})=x\}$

den Orbit von $x^{*}$, also die Menge aller Elemente, die aus $x^{*}$ durch Gruppenoperationen hervorgeht. Dann bedeutet die Invarianz von $S$, dass $S$ auf einem gegebenen Orbit konstant ist. Sind also $x_{1},x_{2}\in {\mathcal {O}}_{x^{*}}$, so ist $S(x_{1})=S(x_{2})=S(x^{*})$.

Komposition invarianter Statistiken

Ist eine messbare Funktion

$f\colon (Y,{\mathcal {A}}_{Y})\to (Z,{\mathcal {A}}_{Z})$

gegeben, so ist ${\tilde {S}}=f(S)$ eine invariante Statistik von $(X,{\mathcal {A}}_{X})$ nach $(Z,{\mathcal {A}}_{Z})$.

Umgekehrt ist jede invariante Statistik die Komposition einer maximalinvarianten Statistik $T$ und einer weiteren Funktion $h$. Ist also

$S\colon (X,{\mathcal {A}}_{X})\to (Y,{\mathcal {A}}_{Y})$

eine invariante Statistik und

$T\colon (X,{\mathcal {A}}_{X})\to (Z,{\mathcal {A}}_{Z})$

eine maximalinvariante Statistik, so existiert eine Funktion

$h\colon Z\to Y$,

für die

$S=h(T)$

gilt. Allerdings muss $h$ nicht notwendigerweise messbar sein.

https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Invariant_statistic

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 250–254, doi:10.1007/978-3-642-41997-3. 
• Jürgen Hedderich, Lothar Sachs: Angewandte Statistik. Methodensammlung mit R. 15. Auflage. Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-45690-3, S. 198–204, doi:10.1007/978-3-662-45691-0.