Dezimalbruch

Mit Dezimalbruch oder Zehnerbruch wird in Fachbüchern der Mathematik jede Darstellung einer reellen Zahl als Dezimalzahl verstanden (im Gegensatz zu manchen Schulbüchern). Die Begriffe Dezimalbruch und Dezimalzahl werden oft synonym gebraucht. Ein Dezimalbruch wird nach den Regeln des Dezimalsystems gebildet und enthält keinen Bruchstrich.

In der Entstehungsgeschichte der Zahlen haben frühe Zahlzeichen wohl nur der Fixierung einer Anzahl gedient. Dafür werden nur ganze Zahlen benötigt. Später ist zur Notation von Messwerten eine feinere Auflösung erforderlich geworden. Dazu sind dem „Ganzen“ noch „Bruchteile“ hinzugefügt worden; dem Zahlzeichen einer ganzen Zahl ist ein gewöhnlicher Bruch angefügt worden. Ferner sind reelle Zahlen bekannt, die nicht ganzzahlig sind und sich auch nicht mit einem Bruch angeben lassen. Mit dem Dezimalbruch können auch diese in einer für numerische Rechnungen geeigneten Form geschrieben werden.

Aufbau

Eine vorzeichenlose ganze Dezimalzahl wird nach den Regeln des Dezimalsystems in der Form

$\mathbf {z} _{m}\mathbf {z} _{m-1}\cdots \mathbf {z} _{0}$

geschrieben. Dabei ist jedes $\mathbf {z} _{i}$ eine der zehn Dezimalziffern. (Zur besseren Unterscheidung werden hier Ziffernzeichen fett und ihre zugehörigen Ziffernwerte normal gedruckt.) Alle diese Ziffern haben eigene Stellenwerte. Diese betragen zu der vorstehenden Zahl in derselben Reihenfolge

$10^{m},10^{m-1},\dotsc ,10^{0}$.

Wird die Folge der Stellenwerte zur Einbeziehung desjenigen Teils, der „gebrochen“ (kleiner als eins) ist, am rechten Ende fortgesetzt durch

$10^{-1},\ 10^{-2},\ 10^{-3},\dotsc \$ oder gleichwertig $\quad {\frac {1}{10}},\ {\frac {1}{100}},\ {\frac {1}{1000}},\dotsc \$,

so kann die Dezimalzahl mit weiteren Ziffern $\mathbf {a} _{i}$ ergänzt werden, die den restlichen Zahlenteil angeben. Dabei steht $\mathbf {a} _{1}$ für die Zehntel, $\mathbf {a} _{2}$ für die Hunderstel und so weiter. Ein Dezimalbruch in der Form

$0,\mathbf {a_{1}a_{2}a_{3}} \cdots$

steht für die Reihe

$0+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{100}}+{\frac {a_{3}}{1000}}+\cdots =\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\cdot 10^{-i}$.

Schreibweise

Ein Dezimalbruch wird im weiter unten angegebenen Sonderfall des endlichen Dezimalbruches geschrieben wie $\mathbf {z} _{m}\mathbf {z} _{m-1}\ldots \mathbf {z} _{0}\mathbf {,z} _{-1}\mathbf {z} _{-2}\ldots \mathbf {z} _{-n}\$; mit diesem Zahlzeichen ergibt sich der Zahlenwert zu $\sum _{i=-n}^{m}z_{i}\cdot 10^{i}$. Im allgemeinen Fall wird $\mathbf {z} _{m}\mathbf {z} _{m-1}\ldots \mathbf {z} _{0}\mathbf {,z} _{-1}\mathbf {z} _{-2}\ldots \$ geschrieben mit dem Wert $\sum _{i=-\infty }^{m}z_{i}\cdot 10^{i}$.

Zur Markierung der Grenze zwischem dem ganzzahligen und dem gebrochenen Teil des Zahlzeichens wird zwischen die Einerstelle und die Zehntelstelle ein Dezimalzeichen eingefügt. Im deutschsprachigen Raum ist dieses das Komma. Entsprechend steht der gebrochene Teil auf Nachkommastellen.

Längere Ziffernfolgen werden zur besseren Lesbarkeit in Dreiergruppen strukturiert (ab dem Komma nach links und nach rechts). Dazu dient nach Empfehlung der ISO ein (geschütztes) schmales Leerzeichen als Tausendertrennzeichen; Punkte zur Gruppierung sollen nicht mehr verwendet werden, da diese in Teilen der Welt als Dezimalzeichen verwendet werden und daher missverständlich sind. Demnach wird in Deutschland und Österreich die Dezimalzahl 76543210,98765 strukturiert in 76 543 210,987 65. Daneben existieren je nach Verwendungszweck und Staat noch weitere Schreibweisen.

Sprechweise

Stellen nach dem Komma werden durch Aufzählen der einzelnen Ziffern wiedergegeben, z. B.: „Pi ist drei Komma eins vier eins fünf neun zwei Punkt Punkt Punkt“. Will man die Bewertung der Stelle mit einfließen lassen, dann kann wieder in Einzelbrüche, üblicherweise wie die Stellen vor dem Komma in Dreiergruppen gemäß der technischen Notation aus dem SI-System in Dezimalbrüche zerlegt werden: „Pi ist drei Komma einhunderteinundvierzig Tausendstel fünfhundertzweiundneunzig Millionstel Punkt Punkt Punkt“. Die Sprechweise „Pi ist drei Komma vierzehn fünfzehn zweiundneunzig Punkt Punkt Punkt“ gilt als nicht korrekt.

Währungen

Bei Währungen, die spezielle Untereinheiten haben, so z. B. der Euro den Cent als Hundertstel, ist die Angabe in ganzen Haupt- und ganzen Untereinheiten, „drei Euro, vierzehn Cent“, üblich, dabei wird der Name der Untereinheit meistens nicht ausgesprochen: „drei Euro vierzehn“, die Wertigkeit der Zahl nach der Währung als Hundertstel ist hier allgemein klar. Bei Beträgen mit höherer Genauigkeit, so zum Beispiel Kraftstoffpreisen pro Liter und Telefontarifen pro Minute, ist die Formulierung als Dezimalzahl, „eins Komma zwei eins neun Euro pro Liter“, oder auch eine gemischte Formulierung als „ein Euro einundzwanzig-neun“ üblich.

Geschichte

Die Arabische Zahlschrift hat sich in Europa ab dem 13. Jahrhundert gegen vielerlei Schwierigkeiten ausgebreitet. Der Dezimalbruch ist wohl mehrfach erfunden worden durch Frances Pellos und Giovanni Bianchini im 15. Jahrhundert und erneut durch Simon Stevin und Christophorus Clavius gegen Ende des 16. Jahrhunderts. Die heutige Schreibweise mit einem Dezimalzeichen findet sich bereits bei Bartholomäus Pitiscus in seinen trigonometrischen Tabellen 1612 sowie danach bei John Napier in seinen Artikeln über Logarithmen 1614 und 1619.

Dezimalbruchentwicklung

Die Umrechnung einer reellen Zahl in einen Dezimalbruch wird als Dezimalbruchentwicklung bezeichnet. Es gibt verschiedene Ausführungen des Dezimalbruchs. Er ist

• unendlich periodisch

Die Ziffern $\mathbf {a} _{i}$ wiederholen sich ab einer bestimmten Stelle periodisch. Diese Art Dezimalbruch entsteht aus dem gewöhnlichen Bruch zweier ganzer Zahlen. Dann heißt die Zahl rationale Zahl. Beispiele sind ${\tfrac {11}{30}}=0{,}36666\ldots$ und ${\tfrac {30}{11}}=2{,}727272\ldots$.

• unendlich nicht periodisch

Die Ziffern $\mathbf {a} _{i}$ folgen aufeinander ohne Ende, aber sie erfüllen nicht die Bedingung einer rationalen Zahl. Dann heißt die Zahl irrationale Zahl. Beispiele sind ${\sqrt {2}}$, die Kreiszahl $\pi$, die Eulersche Zahl $\mathrm {e}$.

• endlich oder abgebrochen oder abbrechend

Dann liegt der gar nicht so seltene Sonderfall vor, dass die Ziffernfolge ab einer bestimmten Stelle nur aus Nullen besteht; die Null wiederholt sich periodisch. Da diese periodischen Nullen auf Nachkommastellen meistens nicht mitgeschrieben werden, bricht der Dezimalbruch dort ab. Beispiele sind ${\tfrac {37}{100}}=0{,}37$, ${\tfrac {3}{4}}=0{,}75$, ${\tfrac {8}{4}}=2$.

Weblinks

Wiktionary: Dezimalbruch – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wiktionary: Zehnerbruch – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Dezimalbrüche. In: Serlo.