Diskussion:Schiefer Kreiskegel

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Letzter Kommentar: vor 17 Jahren von Jotquadrat
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Beim Abschnitt ´Beziehung zwischen geradem Ellipsen- und schiefem Kreiskegel´ ist Folgendes zu beachten: Es genügt nicht, die (von x unabhängige) Ebenenform z(x,y) = sy+t in die Kegelform einzusetzen. Das Resultat, ein Ausdruck in x und y, ist nur die Projektion des Kegelschnitts auf die xy-Ebene. Aus der Gleichsetzung der Koeffizienten von x² und y² erhält man die Steigung der Ebene, die aus dem Kegel eine Ellipse schneidet, deren Projektion ein Kreis ist. Für den Winkel dieser Schnittebene mit der xy-Ebene gilt dann die Formel , dabei ist < ( der korrekte Schnittwinkel im Artikel).

Beispiel eines Kreisschnitts: a = 6, b = 4, h = 10, dann ist (Näherungswerte) = 0,3714, = 0,5145, also = 0,7643, das entspricht einem Schnittwinkel von 43°48'. Bei n = 3 ist der Radius des Schnittkreises = 2,7 (von Kegelrand zu Kegelrand also 5,4). --Jotquadrat 12:26, 30. Jun. 2007 (CEST)Beantworten

Beweis-Skizze: Die analytische Beschreibung des geraden Ellipsenkegels lautet r'Cr = 0 mit r' = (x,y,z) und

oder ausgeschrieben

(gestrichene Vektoren sind Zeilenvektoren, also transponierte Spaltenvektoren). p' = (0,v,w) sei der Stützvektor der Ebene, die den Kegel schneidet (p liegt in der yz-Ebene). Der Betrag von p sei n (also n² = v²+w²). Die Matrix

dreht den Stützvektor in den Vektor q' = (0,0,n). Es gilt D' D = Einheitsmatrix und det(D) = det(D') = 1. D ist also eine Drehmatrix, die Längen und Winkel invariant lässt. Sie dreht das System Ellipsenkegel und Schnittebene so, dass der Stützvektor in die z-Achse fällt und die gedrehte Schnittebene die einfache Form z = n erhält. Der gedrehte Ellipsenkegel hat dann die Form r' D' A D r = 0. Das ergibt ausgerechnet

,

wobei

Die Gleichung für die Schnittkurve lautet wegen z=n:

Das ist ein Kegelschnitt. Damit er ein Kreis ist, muss gelten:

, also (Kreisbedingung). Aus dieser Gleichung folgt das Kosinus-Gesetz für den Kreisschnitt eines geraden Ellipsenkegels. --Jotquadrat 10:56, 16. Jul. 2007 (CEST)Beantworten