Dieser Artikel behandelt das Kronecker-Produkt von Matrizen, für das Kronecker-Produkt von Kohomologie- und Homologie-Klassen siehe
Kronecker-Paarung.
Das Kronecker-Produkt ist in der Mathematik ein spezielles Produkt zweier Matrizen beliebiger Größe. Das Ergebnis des Kronecker-Produkts ist eine große Matrix, die durch Betrachtung aller möglichen Produkte von Einträgen der beiden Ausgangsmatrizen entsteht. Es ist nach dem deutschen Mathematiker Leopold Kronecker benannt.
Ist
eine
-Matrix und
eine
-Matrix,
so ist das Kronecker-Produkt
definiert als
![{\displaystyle C=(a_{ij}\cdot B)={\begin{pmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{pmatrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Qz2a4atmQotnFaNKOyjBFa2w3ytdDoDdEajBAnAvBatvBateNzAs0)
Explizit:
.
Das heißt, jedes Element der Matrix
wird mit der Matrix
multipliziert.
Das Ergebnis ist also eine Matrix mit
Zeilen und
Spalten.
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\end{pmatrix}}\\\\3\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\end{pmatrix}}&4\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\end{pmatrix}}\\\\5\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\end{pmatrix}}&6\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&8&\!\!\!&14&16\\9&0&\!\!\!&18&0\\[0.6em]21&24&\!\!\!&28&32\\27&0&\!\!\!&36&0\\[0.6em]35&40&\!\!\!&42&48\\45&0&\!\!\!&54&0\end{pmatrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BzNC0ytrBaNrBygvBoDlEajnCots1oNoNaDe2zgo1aga3zNePyqo1)
Das Kronecker-Produkt ist nicht kommutativ, das heißt, im Allgemeinen gilt
.
Es gibt jedoch Permutationsmatrizen
so dass
![{\displaystyle A\otimes B=P(B\otimes A)Q}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80njaOaqi2oNvFaDBDoNKPnjdAoAo4ots1aqe3ztC5nqe4yqiQaDK1)
gilt. Sind dabei
und
quadratisch, so kann
gewählt werden.
Das Kronecker-Produkt ist assoziativ. Das heißt, es gilt
.
Für die Transposition gilt
.
Für die konjugierte Matrix gilt
.
Für die adjungierte Matrix gilt
.
Das Kronecker-Produkt ist bilinear mit der Matrizenaddition, das heißt, es gilt
,
![{\displaystyle (B+C)\otimes A=B\otimes A+C\otimes A}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82yteNygdAajK5njo4njK3zjlCoqoPntmQz2o3yte2atm3zqoPoNFC)
und
![{\displaystyle \lambda (A\otimes B)=(\lambda A)\otimes B=A\otimes (\lambda B)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84ngo5o2oNngvDagvCnqi0o2e0zjrFzje2aNm4nDhEoDJEaAiNaji1)
Sind die Matrizenprodukte
und
definiert, so gilt[1]
.
Sind
und
quadratische Matrizen, so gilt für die Spur
.
Für den Rang gilt
.
Ist
eine
und
eine
Matrix, so gilt für die Determinante
.
Sind
die Eigenwerte von
und
die
Eigenwerte von
, dann gilt:
sind die Eigenwerte von
.
Für die Spektralnorm gilt demnach
.
Sind
invertierbar, so ist auch
invertierbar mit Inverser
.
Für die Moore-Penrose-Inverse gilt außerdem
.
Allgemeiner gilt: Sind
und
verallgemeinerte Inversen von
und
, so ist
eine verallgemeinerte Inverse von
.
Es seien die Matrizen
gegeben und eine Matrix
gesucht, so dass
gilt. Dann gilt folgende Äquivalenz:
.
Hierbei steht
für die spaltenweise Vektorisierung einer Matrix zu einem Spaltenvektor: Sind
die Spalten der Matrix
, so ist
![{\displaystyle \operatorname {vec} (X)={\begin{pmatrix}{\vec {x}}_{1}\\\vdots \\{\vec {x}}_{m}\end{pmatrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EngdDotC4oNdCygeNoNdBzqa1aje2njC3ngs0z2s3zAdEytzAygvD)
ein Spaltenvektor der Länge
. Analog ist
ein Spaltenvektor der Länge
.
Hat man den Vektor
ermittelt, so ergibt sich daraus unmittelbar die zugehörige
isomorphe Matrix
.
Es ist
.
Dabei ist
.
Für
und
seien die Matrizen
gegeben.
Gesucht sind die Matrizen
, welche das Gleichungssystem
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}X_{1}B_{11}+...+A_{1s}X_{s}B_{1s}&=&C_{1}\\&\vdots &\\A_{r1}X_{1}B_{r1}+...+A_{rs}X_{s}B_{rs}&=&C_{r}\\\end{bmatrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Fa2e3ztFCnja1zje0a2hEaNBBzqrEaAsQntwOotFCnArDoDK3o2i4)
lösen. Diese Aufgabenstellung ist äquivalent zum Lösen des Gleichungssystems
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}B_{11}^{T}\otimes A_{11}&\cdots &B_{1s}^{T}\otimes A_{1s}\\\vdots &\ddots &\vdots \\B_{r1}^{T}\otimes A_{r1}&\cdots &B_{rs}^{T}\otimes A_{rs}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\operatorname {vec} \,X_{1}\\\vdots \\\operatorname {vec} \,X_{s}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {vec} \,C_{1}\\\vdots \\\operatorname {vec} \,C_{r}\end{pmatrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8No2e3a2vBnjdFnqaPzgrCzgiPnAnEyto2nDrFyjhBzjJAztiPaDmQ)
Das Kronecker-Produkt wird beispielsweise in verallgemeinerten linearen Regressionsmodellen verwendet, um eine Kovarianzmatrix von korrelierten Störgrößen zu konstruieren (z. B. die Kovarianzmatrix bei scheinbar unverbundenen Regressionsgleichungen, siehe Kovarianzmatrix#Kovarianzmatrix bei scheinbar unverbundenen Regressionsgleichungen). Man erhält hier etwa eine blockdiagonale Zellnermatrix.
Zudem braucht man das Kronecker-Produkt in der Quantenmechanik, um Systeme mit mehreren Teilchen, die ein beidseitig beschränktes Spektrum besitzen, zu beschreiben. Zustände mehrerer Teilchen sind dann Kroneckerprodukte der Einteilchenzustände. Im Falle eines unbeschränkten Spektrums bleibt nur die algebraische Struktur eines Kronecker-Produktes erhalten, da dann keine Darstellung durch Matrizen existiert.
Gegeben seien zwei lineare Abbildungen
und
zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen. Dann gibt es immer genau eine lineare Abbildung
![{\displaystyle \varphi _{1}\otimes \varphi _{2}\colon V_{1}\otimes V_{2}\longrightarrow W_{1}\otimes W_{2}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NaNa5oqhDnDa5zjJAoNdBzghEyqaPoqrAzjJDytrCatw0aNo5oAa2)
zwischen den Tensorprodukten mit
.
Wenn wir auf den Vektorräumen
und
je eine Basis auswählen, so können wir der Abbildung
ihre Darstellungsmatrix
zuordnen. Es sei
die Darstellungsmatrix von
.
Das Kronecker-Produkt
der Darstellungsmatrizen entspricht nun genau der Darstellungsmatrix der tensorierten Abbildung
, wenn man auf
und
die Basis zugrunde legt, welche sich aus den lexikographisch angeordneten Paaren von Basisvektoren der am Tensorprodukt beteiligten Vektorräume ergibt: Sind
die ausgewählte Basis von
und
die Basis von
, so nehmen wir
![{\displaystyle (e_{1}\otimes f_{1},e_{1}\otimes f_{2},\ldots ,e_{1}\otimes f_{p},e_{2}\otimes f_{1},\ldots ,e_{n}\otimes f_{p-1},e_{n}\otimes f_{p})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84atm5nqsOaDlFzgzAo2w5nAoPnDC2aNzEaDw5aqaPaAhBnte1o2iQ)
als Basis für das Tensorprodukt
. Analog für
.
Das Kronecker-Produkt ist nach Leopold Kronecker benannt, obwohl Georg Zehfuss die Definition des Produktes schon 1858 leistete, weshalb das Kronecker-Produkt manchmal auch Zehfuss-Produkt genannt wird.[2]
- ↑ Willi Hans Steeb: Kronecker Product of Matrices and Applications. BI-Wiss. Verlag, 1991, ISBN 3-411-14811-X, S. 16
- ↑ Walter Strobl, "Georg Zehfuss: Sein Leben und seine Werke", online