Μιγαδικό τετραγωνικό πολυώνυμο

Ένα μιγαδικό τετραγωνικό πολυώνυμο είναι ένα τετραγωνικό πολυώνυμο του οποίου οι συντελεστές και η μεταβλητή είναι μιγαδικοί αριθμοί.

Ιδιότητες

Τα τετραγωνικά πολυώνυμα έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες, ανεξάρτητα από τη μορφή τους:

Είναι μονοκρίσιμο πολυώνυμο, δηλαδή έχει ένα μόνο πεπερασμένο κρίσιμο σημείο στο μιγαδικό επίπεδο. Το δυναμικό επίπεδο αποτελείται από 2 το πολύ λεκάνες: τη λεκάνη του απείρου και τη λεκάνη του πεπερασμένου κρίσιμου σημείου (αν το πεπερασμένο κρίσιμο σημείο δεν διαφεύγει).
Μπορεί να είναι μετα-κριτικά πεπερασμένο, δηλαδή η τροχιά του κρίσιμου σημείου μπορεί να είναι πεπερασμένη, επειδή το κρίσιμο σημείο είναι περιοδικό ή προ-περιοδικό^[1].
Είναι μονότροπη συνάρτηση,
Είναι Ρητή συνάρτηση,
Είναι ολοκληρωμένη συνάρτηση.

Τύποι

Όταν το τετραγωνικό πολυώνυμο έχει μόνο μία μεταβλητή (μονομεταβλητό), υπάρχουν τέσσερις κύριες μορφές:

Η γενική μορφή: Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f(x) = a_2 x^2 + a_1 x + a_0 } όπου Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle a_2 \ne 0}
Η παραγοντική μορφή που χρησιμοποιείται για τον λογιστικό χάρτη: Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_r(x) = r x (1-x)}
Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_{\theta}(x) = x^2 +\lambda x} που έχει αδιάφορο σταθερό σημείο με πολλαπλασιαστή Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \lambda = e^{2 \pi \theta i}} στην αφετηρία ^[2]
Το μονικό πολυώνυμο και η κεντροποιημένη μορφή, Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_c(x) = x^2 +c}

Η μονική και κεντραρισμένη μορφή έχει μελετηθεί εκτενώς και έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

Είναι η απλούστερη μορφή μιας μη γραμμικής συνάρτησης με έναν συντελεστή (παράμετρος),
Είναι ένα κεντραρισμένο πολυώνυμο (το άθροισμα των κρίσιμων σημείων του είναι μηδέν).^[3]
Είναι διωνυμικό (πολυώνυμο)

Η μορφή λάμδα Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_{\lambda}(z) = z^2 +\lambda z} είναι:

η απλούστερη μη τετριμμένη διαταραχή του αδιατάρακτου συστήματος Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z \mapsto \lambda z}
"η πρώτη οικογένεια δυναμικών συστημάτων στην οποία είναι γνωστές ρητές αναγκαίες και ικανές συνθήκες για το πότε ένα πρόβλημα μικρού διαιρέτη είναι σταθερό"^[4]

Συζυγία

Μεταξύ σχημάτων

Δεδομένου ότι το Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_c(x)} είναι συζυγές με τη γενική μορφή του τετραγωνικού πολυωνύμου χρησιμοποιείται συχνά για τη μελέτη της σύνθετης δυναμικής και για τη δημιουργία εικόνων των συνόλων Μάντελμπροτ, Julia και Φατού.

Εάν επιθυμούμε αλλαγή από Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \theta} σε Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle c} :^[2]

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle c = c(\theta) = \frac {e^{2 \pi \theta i}}{2} \left(1 - \frac {e^{2 \pi \theta i}}{2}\right). }

Όταν θέλουμε να μεταβούμε από το Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle r} στο Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle c} , ο μετασχηματισμός των παραμέτρων είναι^[5]

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle c = c(r) = \frac{1- (r-1)^2}{4} = -\frac{r}{2} \left(\frac{r-2}{2}\right) }

και ο μετασχηματισμός μεταξύ των μεταβλητών στο Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z_{t+1}=z_t^2+c} και Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle x_{t+1}=rx_t(1-x_t)} είναι

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z=r\left(\frac{1}{2}-x\right).}

Με διπλασιασμό χάρτη

Υπάρχει ημι-συζυγία μεταξύ του δυαδικού μετασχηματισμού (του χάρτη διπλασιασμού) και της τετραγωνικής πολυωνυμικής περίπτωσης του c = –2.

Συμβολισμός

Επανάληψη

Εδώ Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f^n} δηλώνει την n-th επαναλαμβανόμενη τιμή της συνάρτησης Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f} :

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_c^n(z) = f_c^1(f_c^{n-1}(z))}

οπότε

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z_n = f_c^n(z_0).}

Λόγω πιθανής σύγχυσης με την εκθετικοποίηση, ορισμένοι συντάκτες γράφουν Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f^{\circ n}} για την nth επαναλαμβανόμενη επανάληψη της Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f} .

Παράμετρος

Η μονική και κεντροποιημένη μορφή Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_c(x) = x^2 +c} μπορεί να σημειωθεί με:

την παράμετρο Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle c}
την εξωτερική γωνία Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \theta} της ακτίνας που προσγειώνεται:
- στο c στο σύνολο Μάντελμπροτ του επιπέδου παραμέτρων
- στην κρίσιμη τιμή: z = c στο σύνολο Julia του δυναμικού επιπέδου

οπότε :

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_c = f_{\theta}}

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle c = c({\theta})}

Παραδείγματα:

Το c είναι το σημείο προσγείωσης της 1/6 εξωτερικής ακτίνας του συνόλου Μάντελμπροτ και είναι Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z \to z^2+i} (όπου i^2=-1)
c είναι το σημείο προσγείωσης της 5/14 εξωτερικής ακτίνας και είναι Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z \to z^2+ c} με Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle c = -1.23922555538957 + 0.412602181602004*i}

1/4
1/6
9/56
129/16256

Χάρτης

Η μονική και κεντραρισμένη μορφή, που μερικές φορές ονομάζεται οικογένεια τετραγωνικών πολυωνύμων Ντουάντι-Χάμπαρντ,^[6] χρησιμοποιείται συνήθως με μεταβλητή Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z} και παράμετρο Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle c} :

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_c(z) = z^2 +c.}

Όταν χρησιμοποιείται ως συνάρτηση εξέλιξης του διακριτού μη γραμμικού δυναμικού συστήματος

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z_{n+1} = f_c(z_n)}

ονομάζεται τετραγωνικός χάρτης:^[7]

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_c : z \to z^2 + c.}

Το σύνολο Μάντελμπροτ είναι το σύνολο των τιμών της παραμέτρου c για τις οποίες η αρχική συνθήκη z₀ = 0 δεν προκαλεί απόκλιση των επαναλήψεων στο άπειρο.

Κρίσιμα στοιχεία

Κρίσιμα σημεία

Σύνθετο επίπεδο

Κρίσιμο σημείο της Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_c} είναι ένα σημείο Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z_{cr}} στο δυναμικό επίπεδο τέτοιο ώστε η παράγωγος να εξαφανίζεται:

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_c'(z_{cr}) = 0.}

Από το

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_c'(z) = \frac{d}{dz}f_c(z) = 2z}

υποδηλώνει

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z_{cr} = 0,}

διαπιστώνουμε ότι το μοναδικό (πεπερασμένο) κρίσιμο σημείο του Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_c} είναι το σημείο Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z_{cr} = 0} .

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z_0} είναι ένα αρχικό σημείο για την επανάληψη του συνόλου Μάντελμπροτ^[8]

Για την τετραγωνική οικογένεια Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_c(z)=z^2+c} το κρίσιμο σημείο z=0 είναι το κέντρο συμμετρίας του σύνολο Julia Jc, οπότε είναι ένας κυρτός συνδυασμός δύο σημείων στο Jc.^[9]

Εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο

Στη Σφαίρα του Ρίμαν το πολυώνυμο έχει 2d-2 κρίσιμα σημεία. Εδώ το μηδέν και το άπειρο είναι κρίσιμα σημεία.

Κρίσιμη αξία

Μια κρίσιμη τιμή Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z_{cv} } της Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_c} είναι η εικόνα ενός κρίσιμου σημείου:

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z_{cv} = f_c(z_{cr})}

Από το

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z_{cr} = 0}

έχουμε

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z_{cv} = c}

Έτσι, η παράμετρος Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle c} είναι η κρίσιμη τιμή της Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_c(z)} .

Καμπύλες κρίσιμου επιπέδου

Μια καμπύλη κρίσιμης στάθμης είναι η καμπύλη στάθμης που περιέχει κρίσιμο σημείο. Λειτουργεί ως ένα είδος σκελετού^[10] του δυναμικού επιπέδου.

Παράδειγμα : οι καμπύλες επιπέδων διασταυρώνονται στο σημείο σέλας, το οποίο είναι ένας ειδικός τύπος κρίσιμου σημείου.

προσέλκυση
προσέλκυση
προσέλκυση
παραβολική
Βίντεο για το c κατά μήκος της εσωτερικής ακτίνας 0

Ορισμός κρίσιμου ορίου

Το κρίσιμο οριακό σύνολο είναι το σύνολο της εμπρόσθιας τροχιάς όλων των κρίσιμων σημείων

Κρίσιμη τροχιά

Δυναμικό επίπεδο : μεταβολές της κρίσιμης τροχιάς κατά μήκος της εσωτερικής ακτίνας της κύριας καρδιοειδούς για γωνία 1/6

Κρίσιμη τροχιά που τείνει σε ασθενώς ελκυστικό σταθερό σημείο με abs(πολλαπλασιαστής) = 0,99993612384259

Η εμπρόσθια τροχιά ενός κρίσιμου σημείου ονομάζεται κρίσιμη τροχιά. Οι κρίσιμες τροχιές είναι πολύ σημαντικές επειδή κάθε ελκτική περιοδική τροχιά έλκει ένα κρίσιμο σημείο, οπότε η μελέτη των κρίσιμων τροχιών μας βοηθά να κατανοήσουμε τη δυναμική στο σύνολο Φατού.^[11]^[12]^[13]

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z_0 = z_{cr} = 0}

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z_1 = f_c(z_0) = c}

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z_2 = f_c(z_1) = c^2 +c}

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z_3 = f_c(z_2) = (c^2 + c)^2 + c}

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \ \vdots}

Αυτή η τροχιά εμπίπτει σε έναν ελκτικό περιοδικό κύκλο, αν υπάρχει.

Κρίσιμος τομέας

Ο κρίσιμος τομέας είναι ένας τομέας του δυναμικού επιπέδου που περιέχει το κρίσιμο σημείο.

Κρίσιμο σύνολο

Το κρίσιμο σύνολο είναι ένα σύνολο κρίσιμων σημείων

Κριτικό πολυώνυμο

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle P_n(c) = f_c^n(z_{cr}) = f_c^n(0)}

οπότε

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle P_0(c)= 0}

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle P_1(c) = c}

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle P_2(c) = c^2 + c}

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle P_3(c) = (c^2 + c)^2 + c}

Αυτά τα πολυώνυμα χρησιμοποιούνται για:

εύρεση των κέντρων αυτών των συνιστωσών του συνόλου Μάντελμπροτ περιόδου n. Τα κέντρα είναι οι ρίζες των n-th κρίσιμων πολυωνύμων

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \text{centers} = \{ c : P_n(c) = 0 \}}

εύρεση ριζών των συνιστωσών του συνόλου Mandelbrot περιόδου n (τοπικό ελάχιστο του Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle P_n(c)} )
Σημείο Μισιουρέβιτς

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle M_{n,k} = \{ c : P_k(c) = P_{k+n}(c) \}}

Κρίσιμες καμπύλες

Τα διαγράμματα των κρίσιμων πολυωνύμων ονομάζονται κρίσιμες καμπύλες.^[14]

Αυτές οι καμπύλες δημιουργούν τον σκελετό (οι σκούρες γραμμές) ενός διάγραμμα διακλάδωσης.^[15]^[16]

Χώροι, επίπεδα

4Δ χώροι

Μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει τον τετραδιάστατο (4D) χώρο Julia-Μάντελμπροτ για μια σφαιρική ανάλυση αυτού του δυναμικού συστήματος.^[17]

Στο χώρο αυτό υπάρχουν δύο βασικοί τύποι 2D επιπέδων:

το δυναμικό (δυναμικό) επίπεδο, Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_c} -επίπεδο ή c'-επίπεδο
το επίπεδο παραμέτρων ή z-επίπεδο

Υπάρχει επίσης ένα άλλο επίπεδο που χρησιμοποιείται για την ανάλυση τέτοιων δυναμικών συστημάτων w-επίπεδο:

το επίπεδο σύζευξης ^[18]
πρότυπο επίπεδο. ^[19]

2Δ Επίπεδο παραμέτρων

Parameter plane types
επίπεδο παραμέτρων r (λογιστικός χάρτης)
c επίπεδο παραμέτρων

Ο χώρος φάσεων ενός τετραγωνικού χάρτη ονομάζεται επίπεδο παραμέτρων. Εδώ:

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z_0 = z_{cr}} είναι σταθερός καιΔεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle c} μεταβλητός.

Δεν υπάρχει δυναμική εδώ. Είναι μόνο ένα σύνολο τιμών παραμέτρων. Δεν υπάρχουν τροχιές στο επίπεδο των παραμέτρων.

Το επίπεδο παραμέτρων αποτελείται από:

Το σύνολο Μάντελμπροτ
- Ο τόπος διακλάδωσης = το όριο του συνόλου Μάντελμπροτ με
  - σημεία ρίζας
- Περιορισμένες υπερβολικές συνιστώσες του συνόλου Μάντελμπροτ = εσωτερικό του συνόλου Μάντελμπροτ^[20]

με εσωτερικές ακτίνες

εξωτερικό του συνόλου Μάντελμπροτ με
- εξωτερικές ακτίνες
- ισοδυναμικές γραμμές

Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί υπότυποι του επιπέδου παραμέτρων.^[21]^[22]

Δείτε επίσης :

Χάρτης Μπότσερ που απεικονίζει το εξωτερικό του συνόλου Μάντελμπροτ στο εξωτερικό του μοναδιαίου δίσκου
πολλαπλασιαστικός χάρτης που αντιστοιχίζει το εσωτερικό της υπερβολικής συνιστώσας του συνόλου Μάντελμπροτ στο εσωτερικό του μοναδιαίου δίσκου

2Δ Δυναμικό επίπεδο

"Το πολυώνυμο Pc απεικονίζει κάθε δυναμική ακτίνα σε μια άλλη ακτίνα που διπλασιάζει τη γωνία (την οποία μετράμε σε πλήρεις στροφές, δηλαδή 0 = 1 = 2π rad = 360°), και οι δυναμικές ακτίνες οποιουδήποτε πολυωνύμου "μοιάζουν με ευθείες ακτίνες" κοντά στο άπειρο. Αυτό μας επιτρέπει να μελετήσουμε συνδυαστικά τα σύνολα Μάντελμπροτ και Julia, αντικαθιστώντας το δυναμικό επίπεδο με τον μοναδιαίο κύκλο, τις ακτίνες με γωνίες και το τετραγωνικό πολυώνυμο με τον χάρτη διπλασιασμού modulo one". Virpi Kauko^[23]

Στο δυναμικό επίπεδο μπορεί κανείς να βρει:

Το σύνολο Julia
Το Γεμισμένο σύνολο Julia
Το σύνολο Φατού
Τροχιές

Το δυναμικό επίπεδο αποτελείται από:

Εδώ, Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle c} είναι μια σταθερά και Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z} είναι μια μεταβλητή.

Το δισδιάστατο δυναμικό επίπεδο μπορεί να αντιμετωπιστεί ως τομή Πουανκαρέ του τρισδιάστατου χώρου του συνεχούς δυναμικού συστήματος.^[24]^[25]

Τα δυναμικά z-επίπεδα μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες:

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_0} επίπεδο για Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle c = 0} (βλ. μιγαδικός χάρτης τετραγωνισμού)
Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_c} επίπεδα (όλα τα άλλα επίπεδα για Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle c \ne 0} )

Σφαίρα Ρίμαν

Το εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο συν ένα σημείο στο άπειρο

η σφαίρα Ρίμαν

Παράγωγα

Πρώτη παράγωγος ως προς c

Στο επίπεδο των παραμέτρων:

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle c} είναι μια μεταβλητή
Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z_0 = 0 } είναι σταθερά

Η πρώτη παράγωγος του Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_c^n(z_0)} ως προς c είναι

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z_n' = \frac{d}{dc} f_c^n(z_0).}

Αυτή η παράγωγος μπορεί να βρεθεί με επανάληψη ξεκινώντας με

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z_0' = \frac{d}{dc} f_c^0(z_0) = 1}

και στη συνέχεια αντικαθιστώντας σε κάθε διαδοχικό βήμα

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z_{n+1}' = \frac{d}{dc} f_c^{n+1}(z_0) = 2\cdot{}f_c^n(z)\cdot\frac{d}{dc} f_c^n(z_0) + 1 = 2 \cdot z_n \cdot z_n' +1.}

Αυτό μπορεί εύκολα να επαληθευτεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας για την παράγωγο.

Αυτή η παράγωγος χρησιμοποιείται στη μέθοδο εκτίμησης απόστασης για τη σχεδίαση ενός συνόλου Μάντελμπροτ.

Πρώτη παράγωγος ως προς z

Στο δυναμικό επίπεδο:

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z} είναι μια μεταβλητή,
Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle c } είναι μια σταθερά.

Σε ένα σταθερό σημείο Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z_0} ,

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f_c'(z_0) = \frac{d}{dz}f_c(z_0) = 2z_0 .}

Σε ένα' περιοδικό σημείο z₀ περιόδου p η πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle (f_c^p)'(z_0) = \frac{d}{dz}f_c^p(z_0) = \prod_{i=0}^{p-1} f_c'(z_i) = 2^p \prod_{i=0}^{p-1} z_i = \lambda }

συχνά παριστάνεται με Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \lambda} και αναφέρεται ως πολλαπλασιαστής ή χαρακτηριστικός αριθμός Lyapunov. Ο λογάριθμός του είναι γνωστός ως εκθέτης Λιαπουνόφ. Η απόλυτη τιμή του πολλαπλασιαστή χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της σταθερότητας των περιοδικών (επίσης σταθερών) σημείων.

Σε ένα μη περιοδικό σημείο, η παράγωγος, που συμβολίζεται με Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z'_n} , μπορεί να βρεθεί με επανάληψη ξεκινώντας με

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z'_0 = 1,}

και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle z'_n= 2*z_{n-1}*z'_{n-1}.}

Αυτή η παράγωγος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της εξωτερικής απόστασης από το σύνολο Julia.

Παράγωγος Σβάρτζιαν

Η παράγωγος Σβάρτζιαν (SD για συντομία) της f είναι:^[26]

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle (Sf)(z) = \frac{f'''(z)}{f'(z)} - \frac{3}{2} \left ( \frac{f''(z)}{f'(z)}\right ) ^2 . }

Δημοσιεύσεις

Monica Nevins and Thomas D. Rogers, "Quadratic maps as dynamical systems on the p-adic numbers^{[νεκρός σύνδεσμος]}"
Wolf Jung : Homeomorphisms on Edges of the Mandelbrot Set. Ph.D. thesis of 2002
More about Quadratic Maps : Quadratic Map

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Poirier, Alfredo (1993). «On postcritically finite polynomials, part 1: Critical portraits». arXiv:math/9305207.
↑ ^2,0 ^2,1 «Michael Yampolsky, Saeed Zakeri : Mating Siegel quadratic polynomials» (PDF).
↑ Bodil Branner: Holomorphic dynamical systems in the complex plane. Mat-Report No 1996-42. Technical University of Denmark
↑ Dynamical Systems and Small Divisors, Editors: Stefano Marmi, Jean-Christophe Yoccoz, page 46
↑ «Show that the familiar logistic map $x_{n+1} = sx_n(1 - x_n)$, can be recoded into the form $x_{n+1} = x_n^2 + c$». Mathematics Stack Exchange.
↑ Yunping Jing : Local connectivity of the Mandelbrot set at certain infinitely renormalizable points Complex Dynamics and Related Topics, New Studies in Advanced Mathematics, 2004, The International Press, 236-264
↑ Weisstein, Eric W. «Quadratic Map». mathworld.wolfram.com.
↑ Java program by Dieter Röß showing result of changing initial point of Mandelbrot iterations Αρχειοθετήθηκε 26 April 2012 στο Wayback Machine.
↑ «Convex Julia sets». MathOverflow.
↑ Richards, Trevor (11 May 2015). «Conformal equivalence of analytic functions on compact sets». arXiv:1505.02671v1 [math.CV].
↑ M. Romera Αρχειοθετήθηκε 22 June 2008 στο Wayback Machine., G. Pastor Αρχειοθετήθηκε 1 May 2008 στο Wayback Machine., and F. Montoya : Multifurcations in nonhyperbolic fixed points of the Mandelbrot map. Αρχειοθετήθηκε 11 December 2009 στο Wayback Machine. Fractalia Αρχειοθετήθηκε 19 September 2008 στο Wayback Machine. 6, No. 21, 10-12 (1997)
↑ Burns A M : Plotting the Escape: An Animation of Parabolic Bifurcations in the Mandelbrot Set. Mathematics Magazine, Vol. 75, No. 2 (Apr., 2002), pp. 104–116
↑ «Khan Academy». Khan Academy.
↑ Ο δρόμος προς το χάος είναι γεμάτος με πολυωνυμικές καμπύλες των Richard D. Neidinger και R. John Annen III. American Mathematical Monthly, Vol. 103, No. 8, October 1996, pp. 640-653
↑ Hao, Bailin (1989). Elementary Symbolic Dynamics and Chaos in Dissipative Systems. World Scientific. ISBN 9971-5-0682-3. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 5 Δεκεμβρίου 2009. Ανακτήθηκε στις 2 Δεκεμβρίου 2009.
↑ «M. Romera, G. Pastor and F. Montoya, "Misiurewicz points in one-dimensional quadratic maps", Physica A, 232 (1996), 517-535. Preprint» (PDF). Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 2 Οκτωβρίου 2006.
↑ «Julia-Mandelbrot Space, Mu-Ency at MROB». www.mrob.com.
↑ Carleson, Lennart, Gamelin, Theodore W.: Complex Dynamics Series: Universitext, Subseries: Universitext: Tracts in Mathematics, 1st ed. 1993. Corr. 2nd printing, 1996, IX, 192 p. 28 illus., (ISBN 978-0-387-97942-7)
↑ Holomorphic motions and puzzels by P Roesch
↑ Rempe, Lasse; Schleicher, Dierk (12 May 2008). «Bifurcation Loci of Exponential Maps and Quadratic Polynomials: Local Connectivity, Triviality of Fibers, and Density of Hyperbolicity». arXiv:0805.1658 [math.DS].
↑ «Julia and Mandelbrot sets, alternate planes». aleph0.clarku.edu.
↑ «Exponential Map, Mu-Ency at MROB». mrob.com.
↑ Trees of visible components in the Mandelbrot set by Virpi K a u k o , FUNDAM E N TA MATHEMATICAE 164 (2000)
↑ «The Mandelbrot Set is named after mathematician Benoit B». www.sgtnd.narod.ru.
↑ Moehlis, Kresimir Josic, Eric T. Shea-Brown (2006) Periodic orbit. Scholarpedia,
↑ «Lecture Notes | Mathematical Exposition | Mathematics». MIT OpenCourseWare.

[1] Poirier, Alfredo (1993). «On postcritically finite polynomials, part 1: Critical portraits». arXiv:math/9305207.

[auto-2] 2,0 ^2,1 «Michael Yampolsky, Saeed Zakeri : Mating Siegel quadratic polynomials» (PDF).

[3] Bodil Branner: Holomorphic dynamical systems in the complex plane. Mat-Report No 1996-42. Technical University of Denmark

[4] Dynamical Systems and Small Divisors, Editors: Stefano Marmi, Jean-Christophe Yoccoz, page 46

[5] «Show that the familiar logistic map $x_{n+1} = sx_n(1 - x_n)$, can be recoded into the form $x_{n+1} = x_n^2 + c$». Mathematics Stack Exchange.

[6] Yunping Jing : Local connectivity of the Mandelbrot set at certain infinitely renormalizable points Complex Dynamics and Related Topics, New Studies in Advanced Mathematics, 2004, The International Press, 236-264

[7] Weisstein, Eric W. «Quadratic Map». mathworld.wolfram.com.

[8] Java program by Dieter Röß showing result of changing initial point of Mandelbrot iterations Αρχειοθετήθηκε 26 April 2012 στο Wayback Machine.

[9] «Convex Julia sets». MathOverflow.

[10] Richards, Trevor (11 May 2015). «Conformal equivalence of analytic functions on compact sets». arXiv:1505.02671v1 [math.CV].

[11] M. Romera Αρχειοθετήθηκε 22 June 2008 στο Wayback Machine., G. Pastor Αρχειοθετήθηκε 1 May 2008 στο Wayback Machine., and F. Montoya : Multifurcations in nonhyperbolic fixed points of the Mandelbrot map. Αρχειοθετήθηκε 11 December 2009 στο Wayback Machine. Fractalia Αρχειοθετήθηκε 19 September 2008 στο Wayback Machine. 6, No. 21, 10-12 (1997)

[12] Burns A M : Plotting the Escape: An Animation of Parabolic Bifurcations in the Mandelbrot Set. Mathematics Magazine, Vol. 75, No. 2 (Apr., 2002), pp. 104–116

[13] «Khan Academy». Khan Academy.

[14] Ο δρόμος προς το χάος είναι γεμάτος με πολυωνυμικές καμπύλες των Richard D. Neidinger και R. John Annen III. American Mathematical Monthly, Vol. 103, No. 8, October 1996, pp. 640-653

[15] Hao, Bailin (1989). Elementary Symbolic Dynamics and Chaos in Dissipative Systems. World Scientific. ISBN 9971-5-0682-3. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 5 Δεκεμβρίου 2009. Ανακτήθηκε στις 2 Δεκεμβρίου 2009.

[16] «M. Romera, G. Pastor and F. Montoya, "Misiurewicz points in one-dimensional quadratic maps", Physica A, 232 (1996), 517-535. Preprint» (PDF). Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 2 Οκτωβρίου 2006.

[17] «Julia-Mandelbrot Space, Mu-Ency at MROB». www.mrob.com.

[18] Carleson, Lennart, Gamelin, Theodore W.: Complex Dynamics Series: Universitext, Subseries: Universitext: Tracts in Mathematics, 1st ed. 1993. Corr. 2nd printing, 1996, IX, 192 p. 28 illus., (ISBN 978-0-387-97942-7)

[19] Holomorphic motions and puzzels by P Roesch

[20] Rempe, Lasse; Schleicher, Dierk (12 May 2008). «Bifurcation Loci of Exponential Maps and Quadratic Polynomials: Local Connectivity, Triviality of Fibers, and Density of Hyperbolicity». arXiv:0805.1658 [math.DS].

[21] «Julia and Mandelbrot sets, alternate planes». aleph0.clarku.edu.

[22] «Exponential Map, Mu-Ency at MROB». mrob.com.

[23] Trees of visible components in the Mandelbrot set by Virpi K a u k o , FUNDAM E N TA MATHEMATICAE 164 (2000)

[24] «The Mandelbrot Set is named after mathematician Benoit B». www.sgtnd.narod.ru.

[25] Moehlis, Kresimir Josic, Eric T. Shea-Brown (2006) Periodic orbit. Scholarpedia,

[26] «Lecture Notes | Mathematical Exposition | Mathematics». MIT OpenCourseWare.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]