Primara idealo

En ringo-teorio, primara idealo (angle primary ideal, france idéal primaire) estas ĝeneraligo de la koncepto de prima idealo. Ĝi estas ĝeneraligo de la potencoj de primoj en la ringo de entjeroj.

Difino

Idealo ${\mathfrak {q}}\subset R$ en komuta ringo $R$ estas primara, se ĝi plenumas la jenajn du aksiomojn.

• Por ĉiuj elementoj $x,y\in R$, se $xy\in {\mathfrak {q}}$, tiam aŭ $x\in Q$ aŭ $y^{n}\in Q$ por iu $n\in \mathbb {N}$.
• ${\mathfrak {q}}\neq R$.

Ecoj

Ĉiu prima idealo estas primara idealo.

La radikalo de primara idealo estas prima idealo.

Se ${\mathfrak {p}}$ estas prima idealo, tiam ĉia primara idealo, kies radikalo estas ${\mathfrak {p}}$, nomiĝas ${\mathfrak {p}}$-primara idealo.

Ekzemploj

En la ringo de entjeroj $\mathbb {Z}$, la primaraj idealoj estas la ĉefidealoj $(q)$, en kiu $q$ estas aŭ pozitiva potenco de primo $p^{n}$ ($n\in \{1,2,3,\dotsc \}$) aŭ nul.

Ekzemple, estu ${\mathfrak {q}}=(125)$ en la ringo de entjeroj $\mathbb {Z}$. Supozu ke $xy\in {\mathfrak {q}}$ sed $x\notin {\mathfrak {q}}$. Tiam $125\mid xy$, sed 125 ne dividas x. Tial 5 devas dividi y, kaj tial iu potenco de y (konkrete $y^{3}$), devas esti en ${\mathfrak {q}}$

Apliko

La koncepto de primaraj idealoj gravas en algebra geometrio: ĉiu idealo en Noether-a ringo havas la t.n. primaran malkomponiĝon, t.e. ĝi estas prezentebla kiel komunaĵo de finia familio de primaraj idealoj.

Eksteraj ligiloj

• Primary ideal (angle). Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag, Eŭropa Matematika Societo.