Funciones de Weierstrass

En el ámbito de las matemáticas, las funciones de Weierstrass son un conjunto de funciones especiales de variable compleja que son auxiliares a la función elíptica de Weierstrass. Han sido nombradas en honor al matemático Karl Weierstrass.

Función sigma de Weierstrass

La función sigma de Weierstrass asociada a uns lattice bidimensional $\Lambda \subset \mathbb {C}$ se encuentra definida por el producto

$\sigma (z;\Lambda )=z\prod _{w\in \Lambda ^{*}}\left(1-{\frac {z}{w}}\right)e^{z/w+{\frac {1}{2}}(z/w)^{2}}$

where $\Lambda ^{*}$ denotes $\Lambda -\{0\}$.

Función zeta de Weierstrass

La función zeta de Weierstrass se encuentra definida por la suma

$\zeta (z;\Lambda )={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1}{z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{z-w}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z}{w^{2}}}\right).$

Notar que la función zeta de Weierstrass es basicamente la derivada logarítmica de la función sigma. La función zeta puede ser reescita como :

$\zeta (z;\Lambda )={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{2k+2}(\Lambda )z^{2k+1}$

where ${\mathcal {G}}_{2k+2}$ is the Eisenstein series of weight $2k+2$.

También es interesante notar que la derivada de la función zeta es $-\wp (z)$, donde $\wp (z)$ es la función elíptica de Weierstrass

No debe confundirse la función zeta de Weierstrass con la función zeta de Riemann de la teoría de números.

Función eta de Weierstrass

La función eta de Weierstrass está definida por la expresión

$\eta (w;\Lambda )=\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda ),{\mbox{ para todo }}z\in \mathbb {C}$

SE puede demostrar que está well-defined, o sea $\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )$ solo depende de w. No se debe confundir la función eta de Weierstrass con la función eta de Dedekind.

Función p de Weierstrass

La función p de Weierstrass estádefinida por la expresión

$\wp (z;\Lambda )=-\zeta '(z;\Lambda ),{\mbox{ for any }}z\in \mathbb {C}$

La función p de Weierstrass es una función par elíptica de órden N=2 con un polo doble en cada lattice and no others.

Weierstrass sigma function en PlanetMath.