Teorema de Schottky

En el análisis complejo matemático, el teorema de Schottky, introducido por Schottky (1904), es una versión cuantitativa del teorema de Picard que establece que el tamaño |f(z)| de una función holomórfica f en el disco de la unidad abierta que no toma los valores 0 o 1 se puede delimitar en términos de z y f(0).

El teorema original de Schottky no dio un límite explícito para f. Ostrowski (1931, 1933) dio algunos límites explícitos débiles. Ahlfors (1938, el teorema B) dio un límite fuerte explícito, mostrando que si f es holomorfo en el disco de unidad abierta y no toma los valores 0 o 1, entonces

$\log |f(z)|\leq {\frac {1+|z|}{1-|z|}}(7+\max(0,\log |f(0)|))$.

Varios autores, como Jenkins (1955), han dado variaciones del límite de Ahlfors con mejores constantes: en particular, Hempel (1980) dio algunos límites cuyas constantes son, en cierto sentido, las mejores posibles.

Referencias

• Ahlfors, Lars V. (1938), «An Extension of Schwarz's Lemma», Transactions of the American Mathematical Society (Providence, R.I.: American Mathematical Society) 43 (3): 359-364, ISSN 0002-9947, doi:10.2307/1990065 .
• Hempel, Joachim A. (1980), «Precise bounds in the theorems of Schottky and Picard», Journal of the London Mathematical Society 21 (2): 279-286, ISSN 0024-6107, doi:10.1112/jlms/s2-21.2.279 .
• Jenkins, J. A. (1955), «On explicit bounds in Schottky's theorem», Canadian Journal of Mathematics 7: 76-82, ISSN 0008-414X, doi:10.4153/CJM-1955-010-4 .
• Ostrowski, A. M. (1931), Studien über den schottkyschen satz, Basel, B. Wepf & cie. .
• Ostrowski, Alexander (1933), «Asymptotische Abschätzung des absoluten Betrages einer Funktion, die die Werte 0 und 1 nicht annimmt», Commentarii Mathematici Helvetici 5: 55, ISSN 0010-2571, doi:10.5169/seals-6655 .
• Schottky, F. (1904), «Über den Picardschen Satz und die Borelschen Ungleichungen», Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 1244-1263 .

• Datos: Q15214697