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Elemento supremo e ínfimo

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Un conjunto A de números reales (representados por círculos azules), un conjunto de cotas superiores de A (círculos rojos), y el mínimo de las cotas superiores, el supremo de A (diamante rojo).

En matemáticas, dado un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado , el supremo de , si existe, es el mínimo elemento de que es mayor o igual a cada elemento de . En otras palabras, es la mínima de las cotas superiores de . El supremo de un conjunto comúnmente se denota como .

De forma análoga, se define el ínfimo , si existe, como la mayor de las cotas inferiores de , y se suele denotar por .

Definiciones

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Sea un subconjunto no vacío de .

  1. Si está acotado por arriba , entonces se dice que una cota superior es un supremo - o una mínima cota superior- de si es menor que cualquier cota superior de . En tal caso, a esa cota superior se le denota .
  2. Si está acotado por abajo, entonces se dice que una cota inferior es un ínfimo - o una máxima cota inferior- de si es mayor que cualquier cota inferior de . En tal caso, a esa cota inferior se le denota [1]

Propiedades

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  • En el campo de los números reales, todo subconjunto no vacío, acotado superiormente posee un supremo, contenido o no dentro del subconjunto.
  • es supremo del subconjunto no vacío del conjunto de números reales si es cota superior de y si, y solo si para toda existe en tal que .
  • es ínfimo del subconjunto no vacío del conjunto de números reales si es cota inferior de y si, y solo si para toda existe en tal que .
  • Sean un subconjunto acotado de números reales y un subconjunto no vacío de . Se cumple que .[2]
  • Si el supremo (ínfimo) existe, entonces es único
  • , si es que dichos supremos existen
  • , si es que dichos ínfimos existen
  • Un conjunto tiene máximo (mínimo) si y solamente si el supremo (ínfimo) es un elemento de dicho conjunto.

Ejemplos

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Véase también

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  • Elemento supremo e ínfimo

Referencias

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  1. Bartle- Sherbert. Introducción al análisis matemático de una variable.ISBN 968-18-1725-7
  2. Rodríguez y otros. cálculo diferencial e integral. Parte I

Literatura de consulta

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