En Álgebra abstracta, si tenemos un conjunto
en el que se ha definido una operación matemática
, que anotamos:
, siendo la operación
, interna en
:
![{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80zDlEzDBDaNzDygwQoti3a2e4njCOz2oPoNmOnDs5zjm5zja5nAnA)
Con elemento neutro
![{\displaystyle \exists \,e\in A\;,\quad \forall a\in A\;:\quad a\circledcirc e=e\circledcirc a=a}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PntFFajwQnjCPaNoOnta4njm2a2zAo2a4otmOaNs3ajdAzDw4nDdC)
Se dice que un elemento
tiene:
elemento simétrico por la izquierda respecto de la operación
si:
![{\displaystyle a\in A\;,\quad \exists {\overrightarrow {a}}\in A\;:\quad {\overrightarrow {a}}\circledcirc a=e}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QzjJAnqrEaNhFyjnEots5nDs1ntJAzjCQaNK5zqs2yta2zgrCyqeQ)
elemento simétrico por la derecha respecto de la operación
si:
![{\displaystyle a\in A\;,\quad \exists {\overleftarrow {a}}\in A\;:\quad a\circledcirc {\overleftarrow {a}}=e}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Azjo2zNhCyghBz2a0otw4oqa2aqw4oDJAzgvEoNBEzjnAa2a4zAnD)
elemento simétrico respecto de la operación
si existe un elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:
![{\displaystyle a\in A\;,\quad \exists {\bar {a}}\in A\;:\quad {\bar {a}}\circledcirc a=a\circledcirc {\bar {a}}=e}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Boqe0aNw0oNFEzNG1aqdBzjo2zNvBoDJCoNe3njJBo2hCaDhBnDKN)
Un elemento simétrico
de
es simétrico por la derecha del elemento
y simétrico por la izquierda del elemento
.
Notación aditiva[editar]
Cuando la operación se denota por "+" (se lee "más"), se denomina suma o adición.
La suma en el conjunto de los números enteros:
,
![{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\oplus :&\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a\oplus b\end{array}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83zjm3ntlCoNvEyjdCo2wOajFFaNG1ztJCzqw3zgoOyqaPzgo3yqs1)
es interna:
![{\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Z} \;:\quad a\oplus b\in \mathbb {Z} }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85oti4zDm0aDe5ztGOaqoQz2dBoAe1njs3zqdAa2s2zjlFzDG3njJE)
En este caso al elemento neutro se denomina cero y se denota por "0",
![{\displaystyle \forall a\in \mathbb {Z} \;,\quad \exists 0\in \mathbb {Z} \;:\quad a\oplus 0=0\oplus a=a}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DzDC0a2o4oDdEzjoPytrDngdByqdEaNePoDo0ajmNaDoNa2zCzta1)
El elemento simétrico de
se denomina elemento opuesto de
y se denota por:
.
Para dicho conjunto de números entero la operación suma:
, tenemos que:
![{\displaystyle a\in \mathbb {Z} \;,\quad \exists (-a)\in \mathbb {Z} \;:\quad (-a)\oplus a=a\oplus (-a)=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BzAvDnjs4aNvDoNJEoDePnAdCytBBagwPzjG2oqzDoDm2yga2zjmN)
Notación multiplicativa[editar]
Cuando la operación se denota por "·" (se lee "por"), se denomina producto o multiplicación.
La multiplicación en el conjunto de los números racionales:
,
![{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\odot :&\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} &\longrightarrow &\mathbb {Q} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a\odot b\end{array}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DzDa0oNnDygiNoNmQo2e5oAe3nDe0yjeNa2o4ajC1oqoNyqaOzjnC)
es interna:
![{\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} \;:\quad a\odot b\in \mathbb {Q} }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BajFAzAi2nDK1oqeNaAw3njGNatC0aAhDzgvCoDiNaqa5nDs0zDa5)
En este caso al elemento neutro se denomina uno o unidad y se denota por "1":
![{\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} \;,\quad \exists 1\in \mathbb {Q} \;:\quad a\odot 1=1\odot a=a}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EotvDztGPaDsQaAhBajs1ajGNnAw2ygsNzgi1zjnEyja3njo4agvE)
El elemento simétrico de
se denomina elemento inverso de
y se denota por
o por
Para dicho conjunto de números racionales la operación multiplicación cumple:
![{\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} \;,\quad a\neq 0\;,\quad \exists {\frac {1}{a}}\in \mathbb {Q} \;:\quad {\frac {1}{a}}\odot a=a\odot {\frac {1}{a}}=1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Pnqw1ajiOaDw1ntdFoNC4agwPa2eNoNm0oDe1aqw2yte2ytG2aNeN)
Véase también[editar]
Véase también[editar]