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Espacio medible

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En matemáticas, un espacio medible o espacio de Borel[1]​ es un objeto básico en la teoría de la medida. Consiste en un conjunto y un σ-álgebra, que define los subconjuntos que se medirán.

Definición

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Considere un conjunto y una σ-álgebra en . Entonces el par se llama espacio medible.[2]

Tenga en cuenta que, a diferencia de un espacio de medida, no se necesita ninguna medida para un espacio medible.

Ejemplo

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Dado el conjunto

Un posible -álgebra sería

Entonces es un espacio medible. Otro posible -álgebra sería el conjunto potencia en  :

Con esto, un segundo espacio medible en el conjunto es dado por .

Espacios medibles comunes

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Si es finito o infinito numerable, se toma la mayoría de las veces como -álgebra el conjunto potencia de . Esto conduce al espacio medible .

Si es un espacio topológico, se toma comúnmente el -álgebra de Borel . Esto conduce al espacio medible que es común para todos los espacios topológicos, por ejemplo, los números reales .

Ambigüedad con espacios Borel

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El término espacio Borel se usa para diferentes tipos de espacios medibles. Puede referirse a

  • cualquier espacio medible, por lo que es sinónimo de espacio medible como se define anteriormente[1]
  • un espacio medible que es Borel isomorfo a un subconjunto medible de los números reales (nuevamente con el Borel -álgebra)[3]

Referencias

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  1. a b Hazewinkel, Michiel. (©1988-©1994). Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia". Reidel. ISBN 1-55608-010-7. OCLC 16755499. 
  2. Klenke, Achim (2008). Probability Theory (en inglés). Springer London. p. 18. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. 
  3. Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling (en inglés) 77. Springer International Publishing. p. 15. ISBN 978-3-319-41596-3. doi:10.1007/978-3-319-41598-7.