Funtor

Una categoría con objetos X, Y, Z y morfismos f, g, g ∘ f

En teoría de categorías, un funtor o functor es una función de una categoría a otra que hace corresponder objetos con objetos y morfismos con morfismos, de manera que la composición de morfismos y las identidades se preservan.

Los funtores se consideraron primero en topología algebraica, donde se asocian los objetos algebraicos con los espacios topológicos y se asocian los homomorfismos algebraicos con las funciones continuas. Hoy en día, los funtores se utilizan a través de las matemáticas modernas para relacionar varias categorías.

Ejemplos de functores típicos son el funtor fiel y el funtor pleno.

Definición

Funtor $F$ debe preservar la composición de los morfismos $g$ y $f$

Sean C y D dos categorías. Un funtor F de C a D es una correspondencia que​

• Asocia a cada objeto $X$ en C a un objeto $F(X)$ en D,
• Asocia cada morfismo $f\colon X\to Y$ en C a un morfismo $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$ en D de tal manera que las siguientes dos condiciones se mantienen:
  • $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ para todo objeto $X$ en C,
  • $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ para todos los morfismos $f\colon X\to Y\,\!$ y $g\colon Y\to Z$ en C.

Es decir, los funtores deben conservar los morfismos de identidad y la composición de morfismos.

Covarianza y contravarianza

Véase también: Covarianza y contravarianza

Existen muchas construcciones en matemáticas que serían funtores si no fuera por el hecho de que "invierten los morfismos" e "invierten la composición". En consecuencia, se define un funtor contravariante F de C a D como una aplicación que

• Asocia cada objeto $X$ en C con un objeto $F(X)$ en D,
• Asocia cada morfismo $f\colon X\to Y$ en C con un morfismo $F(f)\colon F(Y)\to F(X)$ en D tal que se cumplan las dos condiciones siguientes:
  • $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ para cada objeto $X$ en C,
  • $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ para todos los morfismos $f\colon X\to Y$ y $g\colon Y\to Z$ en C.

Debe tenerse en cuenta que los funtores contravariantes invierten la dirección de la composición.

Los funtores ordinarios también se denominan funtores covariantes para distinguirlos de los contravariantes. Tenga en cuenta que también se puede definir un funtor contravariante como un funtor covariante en la categoría opuesta $C^{\mathrm {op} }$.​ Algunos autores prefieren escribir todas las expresiones de manera covariante. Es decir, en lugar de decir que $F\colon C\to D$ es un funtor contravariante, simplemente escriben $F\colon C^{\mathrm {op} }\to D$ (o, a veces, $F\colon C\to D^{\mathrm {op} }$) y lo llaman funtor.

Los funtores contravariantes también se denominan ocasionalmente cofuntores.​

Existe una convención que se refiere a vectores, es decir, a campos vectoriales, elementos del espacio de secciones $\Gamma (TM)$ de un fibrado tangente $TM$, como contravariantes y a covectores, es decir, 1-formas, elementos del espacio de secciones $\Gamma {\mathord {\left(T^{*}M\right)}}$ de un fibrado cotangente $T^{*}M$—como covariante. Esta terminología se origina en la física, y su fundamento tiene que ver con la posición de los índices (arriba y abajo) en expresiones como ${x'}^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}$ para $\mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x}$ o $\omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}$ para ${\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}.$ En este formalismo se observa que el símbolo de transformación de coordenadas $\Lambda _{i}^{j}$ (que representa la matriz ${\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}$) actúa sobre las coordenadas covectoriales de la misma manera que sobre los vectores base: $\mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}$, mientras que actúa de manera opuesta sobre las coordenadas vectoriales (pero de la misma manera como en los covectores base: $\mathbf {e} ^{i}=\Lambda _{j}^{i}\mathbf {e} ^{j}$). Esta terminología es contraria a la utilizada en la teoría de categorías porque son los covectores los que tienen retrocesos en general y, por tanto, son contravariantes, mientras que los vectores en general son covariantes ya que pueden ser puestos hacia adelante. Véase también covarianza y contravarianza.

Funtor opuesto

Cada funtor $F\colon C\to D$ induce el funtor opuesto $F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }$, donde $C^{\mathrm {op} }$ y $D^{\mathrm {op} }$ son las categorías opuestas de $C$ y $D$.​ Por definición, $F^{\mathrm {op} }$ asigna objetos y morfismos de la misma manera que $F$. Dado que $C^{\mathrm {op} }$ no coincide con $C$ como categoría, y de manera similar para $D$, $F^{\mathrm {op} }$ se distingue de $F$. Por ejemplo, al componer $F\colon C_{0}\to C_{1}$ con $G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}$, se debe usar $G\circ F^{\mathrm {op} }$ o $G^{\mathrm {op} }\circ F$. Téngase en cuenta que, siguiendo la propiedad de categoría opuesta, $\left(F^{\mathrm {op} }\right)^{\mathrm {op} }=F$.

Bifuntores y multifuntores

Un bifuntor (también conocido como funtor binario) es un funtor cuyo dominio es una categoría producto. Por ejemplo, el homomorfismo funtorial es del tipo C^op × C → Set. Puede verse como un funtor con dos argumentos. El homomorfismo funtorial es un ejemplo natural; es contravariante en un argumento y covariante en el otro.

Un multifuntor es una generalización del concepto de funtor a n variables. Entonces, por ejemplo, un bifuntor es un multifuntor con n= 2.

Véase también

• Teoría de categorías
• Límite de un funtor

Bibliografía

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra 2 (2nd edición), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7 .

• Datos: Q864475
• Multimedia: Functors / Q864475