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Forma bilineal

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En matemáticas, una forma bilineal sobre un espacio vectorial es una aplicación bilineal , donde es el cuerpo de escalares. En otras palabras, una forma bilineal es una función que asocia un escalar a cada par de vectores, tal que es lineal en cada uno de sus argumentos por separado.[1]

Cuando es el cuerpo de números complejos , es más interesante hablar de formas sesquilineales, que son similares a las formas bilineales, pero son conjugadas lineales en un argumento.

Definición

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Dados un cuerpo K y un K-espacio vectorial V, una forma bilineal es una aplicación

que verifica:[1]

para cualquier y

También se puede definir una forma bilineal como un caso particular de una forma multilineal, en particular como un tensor de tipo (2, 0).

Ejemplos

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  • El producto escalar en el espacio euclideo es una forma bilineal. En particular, dados dos vectores en el plano bidimensional de la forma y , su producto escalar viene dado por:
    que se puede verificar que es una forma bilineal.
  • El determinante de una matriz cuadrada de dimensión dos es una forma bilineal, con respecto a los vectores columna de la matriz. Dados dos vectores en el plano bidimensional , y , y sea
    se define
    denotado más comúnmente por
    .

Propiedades

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De la definición se tienen las siguientes propiedades:

para todo y

Forma bilineal simétrica y antisimétrica

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Una forma bilineal puede tener un comportamiento especialmente simple frente al intercambio de los argumentos; aún en el caso de que no lo tenga, se puede descomponer de manera única en dos formas bilineales que sí lo tienen.

Forma bilineal simétrica

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Una forma bilineal simétrica es aquella que es conmutativa, por lo que se puede intercambiar el primer con el segundo argumento sin variar la imagen:

Como ejemplo se tiene que el producto escalar en el espacio euclídeo es una forma bilineal simétrica.

Forma bilineal antisimetrica

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Una forma bilineal antisimétrica es aquella en la que el intercambio de argumentos provoca un cambio de signo:

en particular se tiene que

Un ejemplo de ello es el símbolo de Levi-Civita bidimensional.

Descomposición de una forma bilineal cualquiera

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Dada una forma bilineal cualquiera se puede definir su forma bilineal simétrica como:

Análogamente la forma bilineal antisimétrica se define como:

Las formas así definidas componen la forma original:

Formas no degeneradas

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Forma sesquilineal

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Si el cuerpo K es el cuerpo de números complejos C, se puede definir una forma sesquilineal como:

donde , en la última condición, denota al complejo conjugado.

  • Se dice que una forma sesquilineal f es hermítica si es igual a su conjugada
  • se denomina que una forma hermítica f es positiva si a f (v, v)≥ 0[2]

Matriz asociada

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Una forma bilineal se puede expresar de manera sencilla en forma matricial. Dadas una forma bilineal y una base del espacio vectorial V, se define la matriz asociada a la forma f respecto de la base B como:[3]

Donde cada entrada de la matriz es la imagen de los correspondientes vectores de la base por f: . Con la matriz así definida, la imagen por f de los vectores y sería:

Nótese que por ser un escalar, se verifica que

Bajo estas condiciones, puede demostrarse la siguiente propiedad.

Las matrices asociadas a formas simétricas son simétricas, y las matrices asociadas a formas antisimétricas son antisimétricas.

Demostración
El enunciado puede reescribirse como un par de implicaciones dobles.
  1. f es simétrica si y sólo si su matriz asociada es simétrica.
  2. f es antisimétrica si y sólo si su matriz asociada es antisimétrica.

con la sustitución de las definiciones correspondientes, se tiene para todo u, v en V,

  1. por un lado, y
  2. .

Se demuestra cada proposición por separado.

  1. por hipótesis, luego

    como la igualdad es cierta para todo u, v tiene que ser

    .

    Escribimos nuevamente a f en forma matricial

    pero como por hipótesis ,

    .

  2. La prueba es análoga.

    por lo tanto .

    Escribimos nuevamente a f en forma matricial

Forma cuadrática asociada

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Dada una forma bilineal, se puede definir su forma cuadrática asociada como:

dado por

Además, cada forma cuadrática tiene una forma bilineal asociada denominada forma polar.

Véase también

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Referencias

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Notas

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  1. a b Weisstein, Eric W. «Forma bilineal». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Consultado el 13 de abril de 2014. 
  2. Lugovaia et al Op. cit.
  3. (Merino y Santos , 2006, p. 270)

Bibliografía

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  • Merino, Luis; Santos, Evangelina (2006). Álgebra lineal con métodos elementales. Paraninfo. ISBN 9788497324816. 

Enlaces externos

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