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Notación de poliedros de Conway

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Este gráfico de ejemplo muestra cómo se pueden generar 11 nuevas formas a partir del cubo usando 3 operaciones. Los nuevos poliedros se muestran como aplicaciones en la superficie del cubo para que los cambios topológicos sean más evidentes. Los vértices están marcados en todas las formas con círculos

En geometría, la notación de poliedros de Conway, inventada por John Horton Conway y promovida por George W. Hart, se usa para describir poliedros basándose en un poliedro semilla modificado mediante distintas operaciones prefijadas.[1][2]

Conway y Hart ampliaron la idea de utilizar operadores, como el truncamiento definido por Johannes Kepler, para construir poliedros relacionados con la misma simetría. Por ejemplo, tC representa un cubo truncado y taC, analizado como t(aC), es (topológicamente) un cuboctaedro truncado. El operador más simple, la conjugación intercambia elementos vértices y caras para obterner figuras duales; por ejemplo, el dual de un cubo es un octaedro: dC= O. Aplicados en serie, estos operadores permiten generar muchos poliedros de orden superior. Conway definió los operadores a (ambo), b (bisel), d (dual), e (expandir), g (giro), j (unir), k (kis), m (meta), o (orto), s (achatar) y t (truncar), mientras que Hart agregó r (reflejar) y p (hélice).[3]​ En versiones posteriores se nombraron operadores adicionales, a veces denominados operadores extendidos.[4][5]​ Las operaciones básicas de Conway son suficientes para generar los sólidos arquimedianos y los sólidos de Catalan a partir de los sólidos platónicos. Algunas operaciones básicas se pueden realizar como compuestos de otras: por ejemplo, el ambo aplicado dos veces es la operación de expansión (aa= e), mientras que un truncamiento después del ambo produce un bisel (ta= b).

Los poliedros se pueden estudiar topológicamente, en términos de cómo se conectan entre sí sus vértices, aristas y caras, o geométricamente, en términos de la ubicación de esos elementos en el espacio. Diferentes formas de estos operadores pueden generar poliedros que son geométricamente diferentes pero topológicamente equivalentes. Estos poliedros topológicamente equivalentes se pueden considerar como uno de los muchos grafos poliédricos embebidos en la esfera. A menos que se especifique lo contrario, en este artículo (y en la literatura sobre los operadores de Conway en general) la topología fija el criterio principal. Los poliedros con genus 0 (es decir, topológicamente equivalentes a una esfera) a menudo se colocan en forma canónica para evitar ambigüedades.

Operadores

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En la notación de Conway, los operadores sobre poliedros se aplican como funciones, de derecha a izquierda. Por ejemplo, un cuboctaedro es el ambo de un cubo,[6]​ es decir, , y un cuboctaedro truncado se representa como . La aplicación repetida de un operador se puede denotar con un exponente: j2 = o. En general, los operadores de Conway no son conmutativos.

Los operadores individuales se pueden visualizar en términos de dominios fundamentales (o recintos), como se muestra a continuación. Cada triángulo rectángulo es un dominio fundamental. Cada recinto blanco es una versión rotada de los demás, al igual que cada recinto de color. Para los operadores quirales, los recintos de colores son un reflejo de los recintos blancos y todos son transitivos. En términos de grupo, los operadores aquirales corresponden a los grupos diédricos Dn donde n es el número de aristas de una cara, mientras que los operadores quirales corresponden a grupos cíclicos Cn que carecen de la simetría reflexiva de los grupos diédricos. Los operadores aquiral y quiral también se denominan operaciones locales que preservan la simetría (LSP) y operaciones locales que preservan las simetrías y que preservan la orientación (LOPSP), respectivamente.[7][8][9]

Los LSP deben entenderse como operaciones locales que preservan la simetría, no operaciones que preservan la simetría local. Nuevamente, estas son simetrías en un sentido topológico, no en un sentido geométrico: los ángulos exactos y las longitudes de los bordes pueden diferir.

Dominios fundamentales de caras con aristas
3 (Triángulo) 4 (Cuadrado) 5 (Pentágono) 6 (Hexágono)
Dominios fundamentales de los grupos poliédricos. Los grupos son  para poliedros aquirales y  para poliedros quirales

Hart introdujo el operador de reflexión r, que da la imagen especular del poliedro.[6]​ Esto no es estrictamente un LOPSP, ya que no conserva la orientación: la invierte, intercambiando recintos blancos y rojos. r no tiene ningún efecto sobre los poliedros aquirales aparte de la orientación, y rr = S devuelve el poliedro original. Se puede utilizar una línea superior para indicar la otra forma quiral de un operador: s = rsr.

Una operación es irreducible si no puede expresarse como una composición de operadores aparte de d y r. La mayoría de los operadores originales de Conway son irreducibles: las excepciones son e, b, o y m.

Representación matricial

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x
xd
dx
dxd

La relación entre el número de vértices, aristas y caras de la semilla y el poliedro creado por las operaciones enumeradas en este artículo se puede expresar como una matriz . Cuando x es el operador, son los vértices, aristas y caras de la semilla (respectivamente), y son los vértices, aristas y caras del resultado, entonces

.

La matriz de la composición de dos operadores es simplemente el producto de las matrices de los dos operadores. Operadores distintos pueden tener la misma matriz, por ejemplo, p y l. El recuento de aristas del resultado es un múltiplo entero d del de la semilla: esto se denomina tasa de inflación o factor de arista.[7]

Los operadores más simples, la función identidad S y el operador dual d, tienen formas matriciales simples:

,

Dos operadores duales se cancelan; dd = S, y el cuadrado de es la matriz identidad. Cuando se aplica a otros operadores, el operador dual corresponde a reflexiones horizontales y verticales de la matriz. Los operadores se pueden agrupar en grupos de cuatro (o menos si algunas formas son iguales) identificando los operadores x, xd (un operador de una dualidad), dx (la dualidad de un operador) y dxd (la dualidad de un operador de una dualidad). En este artículo, solo se da la matriz para x, ya que las demás son simples reflexiones.

Números de los operadores

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El número de LSPs para cada tasa de inflación es a partir de la tasa de inflación 1. Sin embargo, no todos los LSP necesariamente producen un poliedro cuyas aristas y vértices forman un grafo 3 conexo y, como consecuencia del teorema de Steinitz, no necesariamente producen un poliedro convexo a partir de una semilla convexa. El número de LSP de elementos 3-conexos para cada tasa de inflación es .[8]

Operadores originales

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Estrictamente, Conway no incluyó los operadores semilla ("seed" S), aguja ("niddle" n) y cremallera ("zip" z), aunque están relacionados con las operaciones originales de Conway por dualidad, motivo por el que se incluyen en este artículo.

A partir de aquí, las operaciones se visualizan en semillas de cubo, y se dibujan en la superficie de ese cubo. Las caras azules cruzan los bordes de la semilla y las caras rosadas se encuentran sobre los vértices de la semilla. Existe cierta flexibilidad en la ubicación exacta de los vértices, especialmente con operadores quirales.

Operadores de Conway originales
Factor de arista Matriz x xd dx dxd Notas
1
Seed: S

dual: d

Seed: dd = S
El operador dual reemplaza cada cara por un vértice y cada vértice por una cara. El politopo original se denomina Seed (semilla). El dual del dual es el politopo original.
2
join ("unir"): j

ambo ("rectificar"): a
Unir ("join") crea caras cuadriláteras. La operación "ambo" crea vértices de grado 4, y también se llama rectificación, o el gráfico medial en la teoría de grafos.[10]
3
kis
("n-plicado"): k

needle ("aguja"): n

zip ("cremallera"): z

truncado: t
Kis levanta una pirámide en cada cara, y también se le llama akización, kleetopo, acumulación,[11]​ acreción o aumento piramidal. El truncado corta el poliedro en sus vértices pero deja una porción de los bordes originales.[12]​ El operador Zip también se denomina bitruncamiento.
4
orto: o = jj

expansión: e = aa
5
gyro ("giro"): g
gd = rgr sd = rsr
snub ("romo"): s
Operadores quirales. Véase achatado. Al contrario de lo que establece Hart,[3]gd no es lo mismo que g: es su par quiral.[13]
6
meta: m = kj

bevel ("bisel"): b = ta

Semillas

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Cualquier poliedro puede servir como semilla, siempre que sobre él se puedan ejecutar las operaciones. A las semillas comunes se les ha asignado una letra. Los sólidos platónicos están representados por la primera letra de su nombre (Tetraedro, Octaedro, Cubo, Icosaedro, Dodecaedro); los prismas (Pn) para formas n-gonales; antiprismas (An); cupulas (Un); anticúpulas (Vn); y pyrámide (Yn). Cualquier sólido de Johnson puede referenciarse como Jn, para n=1,...,92.

Los cinco sólidos platónicos se pueden generar a partir de generadores prismáticos con entre cero y dos operadores:[14]

  • Pirámide triangular: Y3 (un tetraedro es una pirámide especial)
    • T = Y3
    • O = aT (ambotetraedro)
    • C = jT (tetraedro unido)
    • I = sT (tetraedro achatado)
    • D = gT (girotetraedro)

Las teselaciones euclídeas regulares también se pueden usar como semillas:

Operadores extendidos

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Estas son operaciones creadas después del conjunto original de Conway. Téngase en cuenta que existen muchos más operadores de los que se han nombrado. El hecho de que un operador no esté aquí no significa que no exista (o que no sea un LSP o LOPSP). Para simplificar, solo se han incluido los operadores irreducibles en esta lista: se pueden crear más componiendo otros operadores.

Operadores extendidos irreducibles
Factor de arista Matriz x xd dx dxd Notas
4
chaflán: c

cd= du

dc= ud

subdivisión: u
Chaflán es la forma conjunta de l ("desván"). Véase chaflán.
5
propeller ("hélice"): p

dp= pd

dpd= p
Operadores quirales. El operador propeller ("hélice") fue desarrollado por George Hart.[15]
5
loft: ("desván") l

ld

dl

dld
6
quinto: q

qd

dq

dqd
6
join-Lace: ("encaje") L0

L0d

dL0

dL0d
Consúltese la explicación de la notación de combinación que figura a continuación.
7
Lace: (cordón) L

Ld

dL

dLd
7
staKe: ("poste") K

Kd

dK

dKd
7
whirl: ("remolino") w
wd= dv
vd= dw
volute: ("voluta") v Operadores quirales
8
Join-kis-kis: ("unión-nplicado-nplicado")



En ocasiones denotado[4]​ como J. Consúltese la explicación de la notación de combinación que figura a continuación. La forma de no unión, kk, no es irreducible.
10
cross: ("cruz") X

Xd

dX

dXd

Operadores extendidos indexados

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Se pueden agrupar varios operadores según algún criterio determinado, o bien se puede modificar su comportamiento mediante un índice.[4]​ Se escriben como un operador con un subíndice: xn.

Aumentado

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Las operaciones de aumentado conservan las aristas originales. Se pueden aplicar a cualquier subconjunto independiente de caras, o se pueden convertir en una forma de unión eliminando las aristas originales. La notación de Conway admite un índice opcional para estos operadores: 0 para la forma de unión, o 3 o más por las aristas que tienen las caras afectadas. Por ejemplo, k4Y4=O: tomando una pirámide de base cuadrada y pegando otra pirámide a la base cuadrada se obtiene un octaedro.

Operador k l L K (kk)
x
x0




Aumentado Pirámide Prisma Antiprisma

El operador truncado t también tiene una forma de índice tn, lo que indica que solo se truncan los vértices de cierto grado. Es equivalente a dknd.

Algunos de los operadores extendidos se pueden crear en casos especiales con los operadores kn y tn. Por ejemplo, un cubo achaflanado, cC, se puede construir como t4daC, como un rombododecaedro, daC o jC, con sus vértices de grado 4 truncado. Un cubo alabeado, lC es lo mismo que t4kC. Un quinto-dodecaedro, qD se puede construir como t5daaD o t5deD o t5oD, un hexecontaedro deltoidal, deD o oD, con sus vértices de grado 5 truncados.

Meta/bisel

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El operador meta agrega vértices en el centro y en los bordes, mientras que el operador bevel ("bisel") agrega caras en el centro, en los vértices de la semilla y en las aristas. Su índice indica cuántos vértices o caras se agregan en las aristas. Meta (en su forma no indexada) también se llama omnitruncado o cantitruncado. Téngase en cuenta que 0 aquí no significa lo mismo que para las operaciones de aumento: significa que se agregan cero vértices (o caras) en las aristas.[4]

Operadores meta/bisel
n Factor de arista Matriz x xd dx dxd
0 3
k= m0

n

z= b0

t
1 6
m= m1= kj

b= b1= ta
2 9
m2

m2d

b2

b2d
3 12
m3
m3d b3 b3d
n 3n+3 mn mnd bn bnd

Medial

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El operador medial es como meta, excepto en que no agrega aristas desde el centro a cada vértice de la semilla. La forma del índice 1 es idéntica a los operadores orto y de expansión de Conway: expandir también se denomina canteado y expansión. Téngase en cuenta que o y e tienen sus propias formas indexadas, que se describen a continuación. También debe tenerse en cuenta que en algunas aplicaciones se comienza a indexar en 0 en lugar de en 1.[4]

Operadores con medial
n Factor de arista Matriz x xd dx dxd
1 4
M1= o= jj

e= aa
2 7
Medial: M= M2

Md

dM

dMd
n 3n+1 Mn Mnd dMn dMnd

Goldberg-Coxeter

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Los operadores de Goldberg-Coxeter (GC) son dos familias infinitas de operadores definidos como una extensión de la construcción de Goldberg-Coxeter.[16][17]​ Se puede pensar que el operador GC consiste en realizar una trisección angular de una red triangular, o una sección cuadrada de una red cuadrada, colocándola sobre cada cara del poliedro. Esta construcción se puede extender a cualquier cara identificando los recintos del triángulo o cuadrado (el "polígono maestro"). Los operadores[7]​ de la familia triangular se pueden utilizar para producir poliedros de Goldberg y poliedros geodésicos: consúltese Anexo:Poliedros geodésicos y poliedros de Goldberg para conocer las fórmulas.

Las dos familias son la familia triangular GC, ca,b y ua,b, y la familia cuadrilátera GC, ea,b y oa,b. Ambas familias de GC están indexadas por dos números enteros y . Poseen muchas cualidades particulares:

  • Los índices de las familias tienen relación con determinados dominios euclídeos sobre los números complejos: el entero de Eisenstein para la familia triangular GC, y el entero gaussiano para la familia cuadrilátera GC.
  • Los operadores en las columnas x y dxd dentro de la misma familia se conmutan entre sí.

Los operadores se dividen en tres clases (los ejemplos se escriben en términos de c pero se aplican a los 4 operadores):

  • Clase I: . Aquiral, conserva las aristas originales. Se puede escribir con el índice cero suprimido, como por ejemplo ca,0 = ca.
  • Clase II: . También aquiral. Se puede descomponer como ca,a = cac1,1
  • Clase III: Todos los demás operadores. Estos son quirales, y ca,b y cb,a son pares quirales entre sí.

De los operadores de Conway originales, los únicos que no pertenecen a la familia GC son g y s (giro y achatado). Meta y bisel (m y b) se pueden expresar en términos de un operador de la familia triangular y uno de la familia cuadrilátera.

Triangulares

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Operadores de Goldberg-Coxeter triangulares
a b Clase Factor de arista
T= a2 + ab + b2
Matriz Triángulo maestro x xd dx dxd
1 0 I 1
u1= S

d

c1= S
2 0 I 4
u2= u

dc

du

c2= c
3 0 I 9
u3= nn

nk

zt

c3= zz
4 0 I 16
u4= uu
uud= dcc duu= ccd c4= cc
5 0 I 25
u5
u5d= dc5 du5= c5d c5
6 0 I 36
u6= unn
unk czt u6= czz
7 0 I 49
u7= u2,1u1,2= vrv
vrvd= dwrw dvrv= wrwd c7= c2,1c1,2= wrw
8 0 I 64
u8= u3
u3d= dc3 du3= c3d c8= c3
9 0 I 81
u9= n4
n3k= kz3 tn3= z3t c9= z4
1 1 II 3
u1,1= n

k

t

c1,1= z
2 1 III 7 v= u2,1
vd= dw
dv= wd
w= c2,1
3 1 III 13 u3,1 u3,1d= dc3,1 du3,1= c3,1d
c3,1
3 2 III 19 u3,2 u3,2d= dc3,2 du3,2= c3,2d
c3,2
4 3 III 37 u4,3 u4,3d= dc4,3 du4,3= c4,3d
c4,3
5 4 III 61 u5,4 u5,4d= dc5,4 du5,4= c5,4d
c5,4
6 5 III 91 u6,5= u1,2u1,3 u6,5d= dc6,5 du6,5= c6,5d
c6,5=c1,2c1,3
7 6 III 127 u7,6 u7,6d= dc7,6 du7,6= c7,6d
c7,6
8 7 III 169 u8,7= u3,12 u8,7d= dc8,7 du8,7= c8,7d
c8,7= c3,12
9 8 III 217 u9,8= u2,1u5,1 u9,8d= dc9,8 du9,8= c9,8d
c9,8= c2,1c5,1
I, II, o III ... ua,b ua,bd= dca,b dua,b= ca,bd ca,b
I o III ... ua,b ua,bd= dca,b dua,b= ca,bd ca,b

Por teoría básica de números, para cualquier valor de a y b, .

Cuadrilátero

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Operadores de Goldberg-Coxeter cuadriláteros
a b Clase Factor de arista
T= a2 + b2
Matriz Cuadrado maestro x xd dx dxd
1 0 I 1
o1= S

e1= d

o1= dd= S
2 0 I 4
o2= o= j2

e2= e= a2
3 0 I 9
o3

e3

o3
4 0 I 16
o4= oo= j4

e4= ee= a4
5 0 I 25
o5= o2,1o1,2= prp
e5= e2,1e1,2
o5= dprpd
6 0 I 36
o6= o2o3
e6= e2e3
7 0 I 49
o7
e7
o7
8 0 I 64
o8= o3= j6
e8= e3= a6
9 0 I 81
o9= o32

e9= e32

o9
10 0 I 100
o10= oo2,1o1,2
e10= ee2,1e1,2
1 1 II 2
o1,1= j

e1,1= a
2 2 II 8
o2,2= j3

e2,2= a3
1 2 III 5
o1,2= p

e1,2= dp= pd

p
I, II, o III T par ... oa,b ea,b
I o III T impar ... oa,b ea,b oa,b

Ejemplos

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Véase también Anexo:Poliedros geodésicos y poliedros de Goldberg.

Sólidos de Arquímedes y sólidos de Catalan

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El conjunto original de operadores de Conway puede crear todos los sólidos arquimedianos y los sólidos de Catalan, usando sólidos platónicos como semillas. Debe tenerse en cuenta que el operador r no es necesario para crear ambas formas quirales.

Operadores compuestos

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El icosaedro truncado, tI, se puede utilizar como semilla para crear algunos poliedros visualmente más agradables, aunque no son ni isogonales ni isoedrales.

En el plano

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Cada uno de los teselados uniformes convexos se puede crear aplicando operadores de Conway a los teselados regulares Q, H y Δ.

En un toro

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Los operadores de Conway también se pueden aplicar a poliedros toroidales y poliedros con múltiples agujeros.

Véase también

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Referencias

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  1. Conway, John; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). «Chapter 21: Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings». The Symmetries of Things. AK Peters. p. 288. ISBN 978-1-56881-220-5. 
  2. Weisstein, Eric W. «Conway Polyhedron Notation». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  3. a b George W. Hart (1998). «Conway Notation for Polyhedra». Virtual Polyhedra. 
  4. a b c d e Adrian Rossiter. «conway - Conway Notation transformations». Antiprism Polyhedron Modelling Software. 
  5. Anselm Levskaya. «polyHédronisme». 
  6. a b Hart, George (1998). «Conway Notation for Polyhedra». Virtual Polyhedra.  (véase la cuarta fila en la tabla, "a=ambo".)
  7. a b c Brinkmann, G.; Goetschalckx, P.; Schein, S. (2017). «Goldberg, Fuller, Caspar, Klug and Coxeter and a general approach to local symmetry-preserving operations». Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 473 (2206): 20170267. Bibcode:2017RSPSA.47370267B. S2CID 119171258. arXiv:1705.02848. doi:10.1098/rspa.2017.0267. 
  8. a b Goetschalckx, Pieter; Coolsaet, Kris; Van Cleemput, Nico (2020-04-12). «Generation of Local Symmetry-Preserving Operations». arXiv:1908.11622  [math.CO]. 
  9. Goetschalckx, Pieter; Coolsaet, Kris; Van Cleemput, Nico (2020-04-11). «Local Orientation-Preserving Symmetry Preserving Operations on Polyhedra». arXiv:2004.05501  [math.CO]. 
  10. Weisstein, Eric W. «Rectification». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  11. Weisstein, Eric W. «Cumulation». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  12. Weisstein, Eric W. «Truncation». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  13. «Antiprism - Chirality issue in conway». 
  14. Livio Zefiro (2008). «Generation of an icosahedron by the intersection of five tetrahedra: geometrical and crystallographic features of the intermediate polyhedra». Vismath. 
  15. George W. Hart (August 2000). Sculpture based on Propellorized Polyhedra. Proceedings of MOSAIC 2000. Seattle, WA. pp. 61-70. 
  16. Deza, M.; Dutour, M (2004). «Goldberg–Coxeter constructions for 3-and 4-valent plane graphs». The Electronic Journal of Combinatorics 11: #R20. doi:10.37236/1773. 
  17. Deza, M.-M.; Sikirić, M. D.; Shtogrin, M. I. (2015). «Goldberg–Coxeter Construction and Parameterization». Geometric Structure of Chemistry-Relevant Graphs: Zigzags and Central Circuits. Springer. pp. 131-148. ISBN 9788132224495. 

Enlaces externos

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