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Teorema de la gráfica cerrada

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Una función cúbica
la función de Heaviside
La gráfica de la función cúbica en el intervalo está cerrada, dado que la función es continua. En cambio, la gráfica de la función escalón de Heaviside sobre no está cerrada debido a que la función no es continua.

En matemáticas, el teorema del grafo cerrado puede referirse a uno de varios resultados básicos que caracterizan a las funciones continuas en términos de sus gráficas. Cada uno establece condiciones para que las funciones con grafo cerrado sean necesariamente continuas.

Gráficos cerrados y aplicaciones con grafos cerrados

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Si es una aplicación entre espacios topológicos, entonces el gráfico o grafo de es el conjunto o equivalentemente,

Se dice que la gráfica de está cerrada si es un subconjunto cerrado de (con la topología producto).

Cualquier función continua en un espacio de Hausdorff tiene una gráfica cerrada.

Cualquier mapa lineal, entre dos espacios vectoriales topológicos cuyas topologías sean completas (según el criterio de Cauchy) con respecto a las métricas invariantes de traslación, y si además (1a) es secuencialmente continua en el sentido de la topología del producto, entonces la aplicación es continua y su gráfica, Gr L, es necesariamente cerrada. Por el contrario, si es una aplicación lineal en la que, en lugar de (1a), se sabe que la gráfica de (1b) está cerrada en el espacio producto cartesiano , entonces es continua y, por lo tanto, necesariamente secuencialmente continua.[1]

Ejemplos de aplicaciones continuas que no tienen un gráfico cerrado

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Si es un espacio cualquiera, entonces la aplicación identidad es continua, pero su gráfica, que es la diagonal , está cerrada en si y solo si es de Hausdorff.[2]​ En particular, si no es de Hausdorff, entonces es continua pero no tiene un gráfico cerrado.

Sea el conjunto de los números reales con la topología euclídea habitual, e denota con una topología trivial (donde debe tenerse en cuenta que no es de Hausdorff, y que cada función valorada en es continua). Ahora, considérese que se define por y para todo . Entonces, es continua, pero su gráfica es no está cerrada en .[3]

Teorema del grafo cerrado en topología de conjuntos de puntos

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En topología general, el teorema del grafo cerrado establece lo siguiente:

Teorema del grafo cerrado[4]

Si es una aplicación de un espacio topológico sobre un espacio de Hausdorff , entonces la gráfica de está cerrada si es continua. Lo contrario ocurre cuando es compacto (téngase en cuenta que la compacidad y la condición de ser de Hausdorff no se implican entre sí).

Demostración
La primera parte es esencialmente por definición.

Segunda parte:

Para cualquier abierto, se verifica que esté abierto. Entonces, tomando cualquier , se construye un entorno abierto de , tal que .

Dado que la gráfica de es cerrada, para cada punto en la "línea vertical en x", con , dibújese un rectángulo abierto disjunto de la gráfica de . Estos rectángulos abiertos, cuando se proyectan sobre el eje y, cubren el eje y excepto en , así que agréguese un conjunto más.

Intentar tomar construiría un conjunto que contenga , pero no se garantiza que esté abierto, por lo que aquí se usa el requisito de la compacidad.

Dado que es compacto, se puede tomar un recubrimiento abierto finito de como .

Ahora, tómese , que es un entorno abierto de , ya que es simplemente una intersección finita. Se puede afirmar que este es el entorno abierto de buscado.

Supóngase que esto no es cierto, entonces hay algún que no cumple la condición anterior tal que , lo que implicaría que para algún por ser el recubrimiento abierto, pero entonces , lo que constituye una contradicción, ya que se supone que está separado del gráfico de .

Los espacios que no son de Hausdorff rara vez se ven, pero los espacios no compactos son comunes. Un ejemplo de no compacto es la recta real, que permite la función discontinua con gráfica cerrada

.

Para funciones con valores establecidos

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Teorema del gráfico cerrado para funciones con valores establecidos[5]

Para un rango de espacio de Hausdorff compacto , una función con valores establecidos tiene un gráfico cerrado si y solo si es hemicontinua superior y F(x) es un conjunto cerrado para todos los .

En análisis funcional

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Si es un operador lineal entre espacios vectoriales topológicos (TVSs), entonces se dice que es un operador cerrado si la gráfica de está cerrada en cuando está dotado de la topología del producto.

El teorema del grafo cerrado es un resultado importante en el análisis funcional, que garantiza que un operador lineal cerrado es continuo bajo ciertas condiciones. El resultado original se ha generalizado muchas veces. Una versión bien conocida de los teoremas del grafo cerrado es la siguiente:

Teorema[6][7]

Una aplicación lineal entre dos espacios F (por ejemplo, dos espacios de Banach) es continua si y sólo si su gráfico es cerrado.

Véase también

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Referencias

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  1. Rudin, 1991, p. 51-52.
  2. Rudin, 1991, p. 50.
  3. Narici y Beckenstein, 2011, pp. 459-483.
  4. Munkres, 2000, pp. 163–172.
  5. Aliprantis, Charlambos; Kim C. Border (1999). «Chapter 17». Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3rd edición). Springer. 
  6. Schaefer y Wolff, 1999, p. 78.
  7. Trèves (2006), p. 173

Bibliografía

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Enlaces externos

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