Théorème de Coppel

Le théorème de Coppel est un théorème découvert par William Coppel publié en 1955. C'est un théorème sur les systèmes dynamiques, mis en avant par Daniel Perrin dans son article sur la suite logistique et le chaos publié en 2008.

Énoncé

Théorème de Coppel — Soit $[a,b]$ un segment $f:[a,b]\to [a,b]$ continue. On suppose que $f$ ne possède pas de 2-cycle, alors pour tout $x\in [a,b]$ la suite $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ définie par $u_{0}=x$ et $\forall n\in \mathbb {N} ,u_{n+1}=f(u_{n})$ est convergente.

Avec les notations précédentes, on dit que $f$ admet un 2-cycle s'il existe $c\in [a,b]$ tel que $f(f((c))=c$ et $f(c)\neq c$.

Ce théorème est alors très puissant car il permet de démontrer le phénomène de doublement de période de la suite logistique pour $\mu \in [3,\mu _{\infty }]$ voir La suite logistique et le chaos .