Infimum

Un ensemble T de nombres réels (représenté par les boules rouges et vertes), un sous-ensemble S de T (les boules vertes) et l'infimum, le plus grand nombre de T inférieur ou égal à tout nombre de S (noter que pour des ensembles finis, l'infimum et le minimum sont égaux.

En mathématiques, l'infimum, ou borne inférieure, du sous-ensemble d'un ensemble est le plus grand élément, n'appartenant pas obligatoirement au sous-ensemble, inférieur ou égal à tout élément du sous-ensemble. En conséquence, on utilise couramment le terme plus grand minorant. Les infima des ensembles de nombres réels constituent un cas particulier courant spécialement important en analyse. Cependant, la définition générale demeure valable dans les applications les plus abstraites de la relation d'ordre, où l'on considère des ensembles partiellement ordonnés arbitraires.

Les infima sont, en un sens précis, duals du concept de supremum.

Infima des nombres réels

En analyse, l'infimum ou plus grand minorant d'un sous-ensemble S de nombres réels, notée inf(S), se définit comme le plus grand nombre réel inférieur ou égal à tout nombre de S. Si un tel nombre n'existe pas (parce que S n'a pas de minorant), alors on définit inf(S) = -∞. Si S est égal à l'ensemble vide, on définit inf(S)= ∞ (voir droite réelle achevée).

Exemples:

$\inf \,\{1,2,3\}=1.$

$\inf \,\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.$

$\inf \,\{x\in \mathbb {R} :x^{3}>2\}=2^{1/3}.$

$\inf \,\{(-1)^{n}+1/n:n=1,2,3,\dots \}=-1.$

Si un ensemble a un plus petit élément, comme dans le premier exemple, alors ce plus petit élément est l'infimum de cet ensemble (si l'infimum est contenu dans l'ensemble, alors il est aussi connu comme le minimum). Comme le montrent les trois derniers exemples, l'infimum d'un ensemble n'appartient pas nécessairement à l'ensemble.

Les notions d'infimum et de supremum sont duales dans le sens que : $\inf(S)=-\sup(-S)$, où $-S=\{-s|s\in S\}.$

En général, pour montrer que inf(S) ≥ A, il suffit de montrer que x ≥ A pour tout x de S. Montrer que inf(S) ≤ A est un peu plus difficile : pour tout ε > 0, il faut trouver un élément x de S avec x ≤ A + ε (bien entendu, si vous pouvez montrer un élément x de S avec x ≤ A, vous avez gagné).

Infima des ensembles partiellement ordonnés

La définition des infima se généralise facilement aux sous-ensembles des éléments partiellement ordonnés.

En formalisant, l'infimum d'un sous-ensemble S d'un ensemble partiellement ordonné (P, ≤) est un élément a de P tel que

1. a ≤ x pour tout x de S, et
2. pour tout y de P, si pour tout x de S, y ≤ x, alors y ≤ a.

Tout élément avec ces propriétés est nécessairement unique, mais en général, il n'est pas nécessaire qu'un tel élément existe.

En conséquence, les ordres (spécialement les treillis) pour lesquels l'existence de certains infima est connue deviennent spécialement intéressants.

La notion de supremum, ou plus petit majorant, constitue le concept dual de l'infimum. Du principe de dualité de la relation d'ordre, il découle que chaque proposition sur les suprema se transforme automatiquement en une affirmation sur les infima.

Voir aussi

Articles connexes

• Limites inférieure et supérieure
• Supremum et infimum essentiels

Lien externe

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Infimum » (voir la liste des auteurs).