Inégalité de Sundman
Ebauche
L'inégalité de Karl Sundman (1912) concerne le Problème à N corps en mécanique céleste.
Avec le théorème du viriel :
, [notations ci-dessous]
elle constitue une des clefs d'entrée dans l'étude du destin du problème à 3 corps.
Notations
- Le mass scalar product est utilisé :
- Le barycentre G sera l'origine des coordonnées, choisie immobile (gràce à l'invariance galiléenne). Sinon, précision sera donnée. De préférence les masses sont ordonnées par valeur décroissante.
- est le moment d'inertie par rapport à G.
La moitié de sa dérivée temporelle
- Le théorème du viriel est :
où est 2.E(cinétique) toujours positive ; et , l'énergie gravitationnelle des N points , toujours négative.
Bien sûr, le Lagrangien est T- V.
L'Hamiltonien T+V = H(x, y)= Ho constante ( {y} est l'ensemble des quantités de mouvement)
- Le moment cinétique orbital total est : = cste (isotropie d'espace)
L'inégalité conduit à :
, le deuxième membre s'appelle la barrière centrifuge ( Leibniz 1689).
L'inégalité de Sundman
Sundman a performé l'inégalité de Leibniz :
On intuite pourquoi J intervient : si par homothétie la configuration se dilate(resp, se contracte), il y a bien énergie cinétique. Le terme manquant qui crée l'inégalité est au fond la "déformation de la configuration" ( par exemple dans le cas de 3 corps, la déformation du triangle, en particulier quand un alignement se produit)
Utilisation dans le cas du problème à 3 corps plan
On peut utiliser la notation ABC pour le triangle,et les formules usuelles des distances mutuelles ;on pose d = max(a,b,c).
Il s'ensuit que :
Donc et .
Soit :
Un raisonnement similaire avec l'énergie potentielle donne :
Et par conséquent jouera vraisemblablement un rôle important dans l'analyse de la situation.
Références
Sundman K.F. , Mémoire sur le problème des trois corps, Acta mathematica36, 105-179 (1912) scholarpedia : Three_Body_Problem