Inégalité de Sundman

Ebauche

L'inégalité de Karl Sundman (1912) concerne le Problème à N corps en mécanique céleste.

Avec le théorème du viriel :

${\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=4T-2V$ , [notations ci-dessous]

elle constitue une des clefs d'entrée dans l'étude du destin du problème à 3 corps.

Notations

Le mass scalar product est utilisé : $x=({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},\cdot \cdot \cdot ,{\vec {r}}_{N})$

x'\cdot x''=\sum _{i=1}^{3}{m_{i}<{\vec {r}}'_{i},{\vec {r}}''_{i}>}

Le barycentre G sera l'origine des coordonnées, choisie immobile (gràce à l'invariance galiléenne). Sinon, précision sera donnée. De préférence les masses sont ordonnées par valeur décroissante.

$I=x\cdot x$ est le moment d'inertie par rapport à G.

La moitié de sa dérivée temporelle ${\dot {I}}/2==J=x\cdot {\dot {x}}$

Le théorème du viriel est : ${\dot {J}}=2T+V=2H_{o}-V$

où $2T={\dot {x}}\cdot {\dot {x}}$ est 2.E(cinétique) toujours positive ; et $\ V(x)$ , l'énergie gravitationnelle des N points , toujours négative.

Bien sûr, le Lagrangien est T- V.

L'Hamiltonien T+V = H(x, y)= Ho constante ( {y} est l'ensemble des quantités de mouvement)

Le moment cinétique orbital total est : ${\vec {L}}=\sum _{i=1}^{3}{m_{i}{\vec {r}}_{i}\wedge {\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}}$ = cste (isotropie d'espace)

L'inégalité $L^{2}<\sum _{i=1}^{3}{{\vec {L}}_{i}}^{2}<2I\cdot T$ conduit à :

$\ T>L^{2}/2I$ , le deuxième membre s'appelle la barrière centrifuge ( Leibniz 1689).

L'inégalité de Sundman

Sundman a performé l'inégalité de Leibniz :

$\ T>L^{2}/2I+J^{2}/2I$

On intuite pourquoi J intervient : si par homothétie la configuration se dilate(resp, se contracte), il y a bien énergie cinétique. Le terme manquant qui crée l'inégalité est au fond la "déformation de la configuration" ( par exemple dans le cas de 3 corps, la déformation du triangle, en particulier quand un alignement se produit)

Utilisation dans le cas du problème à 3 corps plan

On peut utiliser la notation ABC pour le triangle,et les formules usuelles des distances mutuelles ;on pose D = max(a,b,c)et d = min(a,b,c).

On déclare P(x) == (x-m1)(x-m2)(x-m3) == x^3- M.x^2+ P.x -M3^3

Il s'ensuit que : $I.M=[a^{2}/m_{1}+b^{2}/m_{2}+c^{2}/m_{3}]\cdot M_{3}^{3}$

Donc Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikipedia.org/v1/ » :): {\displaystyle I < [\frac{M3^3}{M}\cdot \M_{-1}]D^2} et $I>[{\frac {m_{3}^{2}}{\sigma _{1}}}]d^{2}$ .

Soit :

$A\cdot {\sqrt {I}}<d<D<B\cdot {\sqrt {I}}$

Un raisonnement similaire avec l'énergie potentielle donne : ${\frac {C}{-V}}<d<D<{\frac {D}{-V}}$

Et par conséquent $\ I\cdot V^{2}$ jouera vraisemblablement un rôle important dans l'analyse de la situation.

Théorème de Jacobi

Pour un système stable ( existent cercles périgée inf d(t) et apogée sup D(t)), Eo est négative. démonstration :I" =4T + 2V => viriel 2<T>=-<V> = -Eo/2

et si Eo>0 , le système est ouvert : D->infty : en effet I" >0 démonstration : on utilise la fonction de Sundman (voir plus loin)

Attention : si Eo<0 , cela n'implique pas que le système soit stable ! En effet, deux étoiles peuvent indéfiniment se rapprocher , et la troisième partir à l'infini doucement.

Théorème de Weierstrass (généralisé par Sundman)

Il n'y a de collision triple stricte que si L = 0 demonstration : pour avoir I(t0) =0 , V(t0)= -infty , donc d'après le viriel I"(t) >0 près de to , donc I(t) décroit de manière monotone I'(t)<0 : alors l'inégalité de Sundman donne 2L^2 Ln[I(t1)/I(t)] < cste; donc I(t) reste borné sauf si L=0

Références

Sundman K.F. , Mémoire sur le problème des trois corps, Acta mathematica36, 105-179 (1912) scholarpedia : Three_Body_Problem

Voir aussi