Inégalité de Sundman

Ebauche

L'inégalité de Karl Sundman (1912) concerne le Problème à N corps en mécanique céleste.

Avec le théorème du viriel :

${\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=4T-2V$ , [notations ci-dessous]

elle constitue une des clefs d'entrée dans l'étude du destin du problème à 3 corps.

Notations

Le mass scalar product est utilisé : $x=({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},\cdot \cdot \cdot ,{\vec {r}}_{N})$

x'\cdot x''=\sum _{i=1}^{3}{m_{i}<{\vec {r}}'_{i},{\vec {r}}''_{i}>}

Le barycentre G sera l'origine des coordonnées, choisie immobile (gràce à l'invariance galiléenne). Sinon, précision sera donnée. De préférence les masses sont ordonnées par valeur décroissante.

$I=x\cdot x$ est le moment d'inertie par rapport à G.

La moitié de sa dérivée temporelle ${\dot {I}}/2==J=x\cdot {\dot {x}}$

Le théorème du viriel est : ${\dot {J}}=2T+V=2H_{o}-V$

où $2T={\dot {x}}\cdot {\dot {x}}$ est 2.E(cinétique) toujours positive ; et $\ V(x)$ , l'énergie gravitationnelle des N points , toujours négative.

Bien sûr, le Lagrangien est T- V.

L'Hamiltonien T+V = H(x, y)= Ho constante ( {y} est l'ensemble des quantités de mouvement)

Le moment cinétique orbital total est : ${\vec {L}}=\sum _{i=1}^{3}{m_{i}{\vec {r}}_{i}\wedge {\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}}$ = cste (isotropie d'espace)

L'inégalité $L^{2}<\sum _{i=1}^{3}{{\vec {L}}_{i}}^{2}<2I\cdot T$ conduit à :

$\ T>L^{2}/2I$ , le deuxième membre s'appelle la barrière centrifuge ( Leibniz 1689).

L'inégalité de Sundman

Sundman a performé l'inégalité de Leibniz :

$\ T>L^{2}/2I+J^{2}/2I$

On intuite pourquoi J intervient : si par homothétie la configuration se dilate(resp, se contracte), il y a bien énergie cinétique. Le terme manquant qui crée l'inégalité est au fond la "déformation de la configuration" ( par exemple dans le cas de 3 corps, la déformation du triangle, en particulier quand un alignement se produit)

Utilisation dans le cas du problème à 3 corps plan

On peut utiliser la notation ABC pour le triangle,et les formules usuelles ;on pose d = max(a,b,c).

Il s'ensuit que : $I.\sigma _{1}=[c^{2}/m_{3}+perm.circ.]\cdot \sigma _{3}$

Donc $I<[{\frac {\sigma _{3}}{\sigma _{1}}}\cdot \sigma _{-1}]d^{2}$ et $I>[{\frac {m_{3}^{2}}{\sigma _{1}}}]d^{2}$ .

Soit :

$A\cdot {\sqrt {I}}<d<B\cdot {\sqrt {I}}$

Un raisonnement similaire avec l'énergie potentielle donne : ${\frac {C}{-V}}<d<{\frac {D}{-V}}$

Références

Sundman K.F. , Mémoire sur le problème des trois corps, Acta mathematica36, 105-179 (1912) scholarpedia : Three_Body_Problem

Voir aussi