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Intégrale elliptique

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Une intégrale elliptique est une intégrale de la forme est une fonction rationnelle à deux variables, est une fonction polynomiale de degré 3 ou 4 avec des racines simples et est une constante ; autrement dit , , et sont des polynômes quelconques.

Formes canoniques

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Adrien-Marie Legendre, qui en a offert la première étude systématique, a montré que des changements de variables adéquats permettent d'exprimer les intégrales elliptiques en fonction de seulement trois formes canoniques[1] appelées intégrale elliptique de première, de deuxième et de troisième espèce et qui s'écrivent souvent ainsi[4] :

espèce Forme de Legendre Forme de Jacobi
1re
2e
3e

On prendra garde en particulier à ne pas confondre la virgule avec le point-virgule. La notation de l'intégrale elliptique avec un point-virgule ne permet que d'exprimer des intégrales elliptiques où . En utilisant au lieu de , l'ensemble de définition est étendu à , mais de toute façon, on peut toujours se ramener à une forme où . . Il est aussi défini[B 1] :

Vocabulaire

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On appelle :

  • le module elliptique ou excentricité
  • le paramètre
  • le comodule
  • l'angle modulaire
  • l'amplitude
  • la caractéristique

L'intégrale est dite :

  • incomplète si est quelconque
  • complète si

Les intégrales elliptiques complètes de 1re, 2e et 3e espèce sont respectivement[5] :

On définit aussi[6] :

On définit[A 2] :

Le "nom elliptique"[traduction souhaitée 1] ou grandeur d'expansion jacobienne est la fonction spéciale :

Intégrales complètes
pour différentes valeurs de
et
La pente n'est pas nulle en 0.
Intégrales elliptiques, leur dérivées et intégrales complètes
pointillés ligne continue tirets
et . Cliquer pour modifier et
pour diverses valeurs de
pour diverses valeurs de

L'intégrale est appelée elliptique car des intégrales de cette forme apparaissent lors du calcul du périmètre des ellipses et de la surface des ellipsoïdes. Il existe également des applications de grande envergure en physique. Par exemple :

Legendre appelait ces intégrales des fonctions elliptiques. Après les travaux de Niels Abel et de Carl Gustav Jakob Jacobi, en 1827, le nom de fonction elliptique est maintenant réservé aux applications réciproques de ces intégrales ou découlant de ces applications réciproques : les fonctions elliptiques de Jacobi, les fonctions elliptiques de Weierstrass et les fonctions elliptiques d'Abel.

Nombres d'espèces

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Adrien-Marie Legendre a montré que des changements de variables permettent de ramener les intégrales de la forme[A 3] aux trois formes canoniques sus-mentionnées.

Décomposition en éléments simples

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En effet, on peut décomposer l'intégrande ainsi :

, , , et sont des polynômes tels que et et . Il reste deux intégrales à calculer.

Réduction du degré des polynômes

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Chacune des intégrales du troisième terme peut se ramener à une expression de la forme :

Chacune des intégrales du quatrième terme peut se ramener à une expression de la forme :

Si , , , et sont réels, et si on veut qu'ils le restent, alors si est réel, on peut faire disparaître le quatrième terme du numérateur en posant :

Élimination des puissances impaires du radical

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On peut ensuite faire disparaître les puissances impaires sous le radical. Si on écrit :

  • Une première méthode est de poser :
Ainsi, on a :
  • Une deuxième méthode qui permet d'avoir (ce qui n'est pas immédiatement le cas avec la première méthode) est de poser :
Si , , , et sont réels, alors on peut toujours trouver deux réels et qui permettent d'écrire sans puissances impaires de .

Élimination des puissances impaires de la fonction rationnelle

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En posant , on a et s'exprime avec des fonctions trigonométriques ou hyperboliques.

De même, se transformera en .

Expression sous une forme trigonométrique

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Soit et . On peut toujours avoir :

Forme canonique

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Si les racines de sont réelles, c.-à-d. si et sont réels, on devra résoudre une expression de la forme avec , ce qui donnera :

si et si , sinon il restera en plus un terme multipliant . Ainsi, on sera amené à résoudre :

Si les racines de ne sont pas réelles, ne peut pas être exprimé sous la forme [A 2], mais on peut toujours exprimer une intégrale elliptique à l'aide des trois intégrales sus-mentionnées[8][Comment ?].

Autres écritures

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Avec des intégrales

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Des changements de variable donnent d'autres expressions :

Avec une série de Taylor-MacLaurin

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1re espèce

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On peut utiliser son développement en série entière,  :

où :

Si , en utilisant la transformation gaussienne décroissante, on se ramène dès la première itération à une forme où  :

Pour le calcul, il peut être intéressant de faire le lien avec la moyenne arithmético-géométrique[9] :

On a également un développement en série entière,  :

Si , en utilisant la transformation de Landen décroissante, on se ramène dès la première itération à une forme où  :

Avec des fonctions hypergéométriques

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On a[B 2] :

où :

  • est la fonction hypergéométrique gaussienne
  • est la fonction hypergéométrique d'Appell (en)

Avec l'algorithme AGM (Moyenne Arithmético-Géométrique)

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Avec l'algorithme AGM quadratique

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A chaque étape de cet algorithme, et sont respectivement la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de et et comme indiqué ici. Puisque , ne peut pas être calculé ainsi, mais on sait que .

Algorithme AGM pour calculer les intégrales elliptiques
Valeurs initiales Équations de récursion Intégrales elliptiques

Avec l'algorithme AGM quartique

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Par substitution de , on a l'algorithme AGM quartique dont la convergence est quartique.

Algorithme AGM quartique pour calculer les intégrales elliptiques
Valeurs initiales Équations de récursion Intégrales elliptiques

Avec des formes symétriques de Carlson

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En mathématiques , les formes symétriques de Carlson (de) des intégrales elliptiques sont un petit ensemble canonique d'intégrales elliptiques auquel toutes les autres peuvent être réduites. Elles constituent une alternative moderne aux formes de Legendre. Les formes de Legendre peuvent être exprimées en formes de Carlson et vice versa.

Les intégrales elliptiques de Carlson sont :

Intégrales elliptiques incomplètes

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On a, pour et  :

Intégrales elliptiques incomplètes

Intégrales elliptiques complètes

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Intégrales elliptiques complètes

Avec des intégrales de Bulirsch

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Intégrales elliptiques incomplètes

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Une représentation alternative des intégrales elliptiques incomplètes sont les intégrales de Bulirsh (de)[10],[B 3].

Une version généralisée a été introduite en 1994 avec un algorithme de calcul efficace[11] :

Les intégrales de Bulirsch ont l'avantage que certaines combinaisons des intégrales elliptiques de Legendre qui se produisent dans la pratique peuvent être représentées par une fonction commune, et ainsi les instabilités numériques et les plages de valeurs indéfinies peuvent être évitées[11] :

Intégrales elliptiques complètes

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Les intégrales complètes de Bulirsch sont :

et l'intégrale complète généralisée de Bulirsch[B 3] :

On a[12] :

Combinaisons linéaires d'intégrales complètes de Legendre :

Fonctions elliptiques de Jacobi

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Définitions

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On appelle fonction amplitude de Jacobi la fonction réciproque de , notée  :

Les trois fonctions jacobiennes de base (1827) sont :

la fonction sinus de Jacobi
la fonction cosinus de Jacobi
la fonction delta de Jacobi

Gudermann (1838), puis Glaisher (1882) introduiront les neuf autres fonctions jacobiennes :

Jacobi a aussi introduit :

  • la coamplitude : [C 2]
  • la fonction epsilon de Jacobi[B 4] :
  • la fonction zn de Jacobi :
  • la fonction zeta de Jacobi :

On a aussi[C 3] :

  • le gudermannien :
  • la fonction correspondant à  :
  • la fonction correspondant à  : .

Lien avec les intégrales elliptiques

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L'intégrale elliptique de 1re espèce permet de définir les fonctions elliptiques de Jacobi. Ainsi :

  • la fonction am est définie comme réciproque de  :
  • la fonction sn est définie comme réciproque de  :

Le lien avec les fonctions elliptiques de Jacobi s'écrit dans le cas des intégrales elliptiques de deuxième et troisième espèce :

Valeurs, identités et relations

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Valeurs intégrales elliptiques singulières

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Les valeurs intégrales elliptiques singulières sont ces intégrales elliptiques complètes[13] qui peuvent être représentées comme une combinaison algébrique des valeurs de la fonction gamma de nombres rationnels. Une telle représentation est possible si le module est égal à une valeur d'étoile lambda elliptique d'un nombre rationnel positif.

Identités de la fonction bêta des intégrales K et E
Module k Intégrales elliptiques de 1re espèce Intégrales elliptiques de 2e espèce

où :

  • est la constante de la lemniscate (suite A062539 de l'OEIS)
  • est la constante de Gauss (suite A014549 de l'OEIS)
  • est la fonction bêta réduite
  • est la fonction bêta
  • est la fonction gamma
  • est la fonction lambda elliptique (de)
répond au critère suivant :

On a aussi :

est la réciproque de , soit .

On a enfin :

Les valeurs d'étoile lambda elliptique mentionnées peuvent également être obtenues en résolvant ces formules, qui sont valables pour tout n ∈ ℕ :

Identités particulières

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[14],[B 5] :

Intégrales de P3(x)-1/2 et P4(x)-1/2

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Ces deux formules servent à intégrer l'inverse des racines carrées des polynômes cubiques et quartiques :

avec :

Le polynôme quartique sous le radical peut être factorisé en deux polynômes quadratiques. L'intégrale impropre de moins l'infini à plus l'infini de l'inverse de la racine carrée d'un polynôme quartique sans zéros réels peut toujours être représentée comme une intégrale elliptique complète de 1re espèce à partir d'un module algébriquement lié aux coefficients du polynôme quartique.

Par exemple :

Intégrales de (1 - xn)-1/2

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Relation avec la fonction bêta

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On a, pour n ∈ ℕ :

Cette formule est expliquée dans une version ancienne de l'article fonction gamma de Wikipedia en allemand.

Par exemple, pour n = 3, 4, 6 et 8, on a :

En calculant ces intégrales et en appliquant la formule d'Euler du théorème supplémentaire, les valeurs de la fonction gamma peuvent être déterminées. Les 1re[15] et 3e[16] égalités représentent des exemples de calcul équi-anharmonique. La dérivation de ces intégrales a été traitée notamment par le mathématicien Mark B. Villarino de l'Université du Costa Rica dans son ouvrage Le Module Singulier de Legendre. La deuxième égalité[17],[18] représente un exemple de calcul lemniscatique (l'arc sinus lemniscatique (de)). Pour ces quatre égalités, le module[19] est une valeur elliptique des étoiles lambda provenant de nombres rationnels.

Dérivées, équations différentielles et primitives

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Dérivées des intégrales incomplètes et complètes

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Dérivée des intégrales incomplètes
Dérivée des intégrales complètes

Équations différentielles

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Équations différentielles du 1er ordre

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Équations différentielles du 1er ordre des intégrales incomplètes
Équations différentielles du 1er ordre des intégrales complètes

Équations différentielles du 2e ordre

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Équations différentielles du 2e ordre des intégrales incomplètes
Équations différentielles du 2e ordre des intégrales complètes

Primitives des intégrales complètes

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Primitives de E, K et par rapport à ou

Par exemple :

où :

  • est la constante de Catalan (suite A006752 de l'OEIS)
  • est l'arc tangente intégral :

Puisque , on a ces formules alternatives :

On a aussi :

On a :

où :

est l'arc sinus lemniscatique (de) :

Théorèmes d'addition

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Soit :

On a alors :

1re espèce

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Il faut donc faire attention aux fonctions à valeurs multiples[pourquoi ?][B 6]. Si et , on peut utiliser :

La moyenne arithmétique peut être calculée ainsi :

Transformations

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Les transformations de Landen (transformations de Landen, de Gauss et quartique AGM) facilitent les calculs numériques.

On a aussi les transformations réflexives :

Cette transformation change le signe du paramètre, c.-à-d. change un module réel en un module imaginaire et vice-versa. Si cette transformation est appliquée deux fois de suite, le module d'origine est à nouveau créé. Cette transformation a donc un caractère réflexif.

Identité de Legendre

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On a l'identité de Legendre : , c.-à-d. :

  • pour deux modules qui sont des homologues pythagoriciens :
  • pour deux modules qui sont des homologues tangentiels :

Ces modules sont homologues car[20] :

Nom elliptique

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Nombres de Kotěšovec Kt(n)

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Le nom elliptique peut être exprimée à partir des nombres de Kotěšovec Kt(n) ∈ ℕ (suite A005797 de l'OEIS) :

Cette suite n'est pas élémentaire mais de structure elliptique. Le rayon de convergence de cette série de Maclaurin[21] est 1.

Kt(1) Kt(2) Kt(3) Kt(4) Kt(5) Kt(6) Kt(7) Kt(8)
1 8 84 992 12 514 164 688 2 232 200 30 920 128

Nombres de Kneser Kn(n)

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À partir de l'identité de Legendre, on a :

et donc :

Au final, nous avons, pour , la fonction suivante que Adolf Kneser et Robert Fricke ont analysée :

La dérivation de cette équation par rapport à conduit à cette équation montrant la fonction génératrice de la suite de nombres de Kneser (suite A227503 de l'OEIS) :

Par exemple :

Robert Fricke a traité cette fonction avec le carré de l'intégrale K au dénominateur dans son célèbre ouvrage Les fonctions elliptiques et leurs applications et a dérivé cette formule en utilisant l'identité de Legendre. Adolf Kneser a également étudié cette fonction et a présenté, dans son ouvrage Nouvelle étude d’une série à partir de la théorie des fonctions elliptiques, le développement de la série MacLaurin associé, qui contient les coefficients de la suite A227503 de l'OEIS.

La suite de Kneser peut être générée alternativement à l'aide d'une suite de nombres d'Apery :

Kn(1) Kn(2) Kn(3) Kn(4) Kn(5) Kn(6) Kn(7) Kn(8)
1 13 184 2 701 40 456 613 720 9 391 936 144 644 749

Nombres de Schellbach et Schwarz Sc(n)

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Le nom elliptique a une définition identique aux définitions déjà évoquées via la suite numérique[22],[23] selon Hermann Schwarz :

Les nombres de Schellbach et Schwarz Sc(n) forme la suite A002103 de l'OEIS[24],[25],[26],[27],[28] :

Sc(1) Sc(2) Sc(3) Sc(4) Sc(5) Sc(6) Sc(7) Sc(8)
1 2 15 150 1 707 20 910 268 616 3 567 400

Le mathématicien Karl Heinrich Schellbach (de) a découvert la suite de nombres entiers qui apparaît dans la série de MacLaurin à partir de la racine quatrième du quotient du nom elliptique (de) divisé par la fonction carrée. Ce scientifique[29],[30] a construit cette suite en détail dans son ouvrage La doctrine des intégrales elliptiques et des fonctions thêta. Concrètement, à la page 60 de cet ouvrage, une synthèse de cette suite y est inscrite. Le mathématicien silésien-allemand Hermann Amandus Schwarzh a également écrit cette suite de nombres entiers dans son ouvrage Formules et théorèmes pour l'utilisation des fonctions elliptiques dans le chapitre Calcul de la quantité k aux pages 54 à 56. Cette suite de nombres de Schellbach-Schwarz Sc(n) a également été analysée au XXe siècle par les mathématiciens Karl Theodor Wilhelm Weierstrass et Louis Melville Milne-Thomson. La méthode de génération des nombres de Schellbach suit ce modèle :

Relation avec la fonction thêta jacobienne

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Le nom elliptique établit la relation entre la fonction thêta jacobienne et l'intégrale elliptique complète de première espèce :

Calcul de π (par Ramanujan)

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Le mathématicien Srinivasa Ramanujan a noté, en 1914, des formules de séries convergeant très rapidement pour le calcul de .

La fonction hypergéométrique généralisée définie par la série hypergéométrique :

vérifie l'équation différentielle :

Pour quelques valeurs de , on a :

Module Formule de Équation différentielle

Les équations obtenues avec et conduisent à des formules de découvertes par Srinivasa Ramanujan, notamment la formule de (informations supplémentaires) la plus connue grâce à laquelle Srinivasa Ramanujan a acquis une renommée mondiale[réf. nécessaire].

Les mathématiciens Borwein, Bailey et Beeler ont successivement écrit les formules les plus importantes de Ramanujan dans leurs travaux et ont également expliqué les recherches de Ramanujan sur les intégrales elliptiques des 1re et 2e espèce ainsi que sur les fonctions hypergéométriques et leurs équations différentielles associées.

Cette procédure a également servi de base à l'algorithme de Chudnovski des mathématiciens David et Gregory Chudnovsky.

Exemples d'application

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Périmètre d'une ellipse

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Illustration géométrique d'une intégrale elliptique de deuxième espèce ( est en fait )

Pour une ellipse de demi-grand axe et de demi-petit axe , donc d'excentricité et décrite par , la longueur d'un arc de l'ellipse de l'équateur à une latitude est :

où la transformation de Landen a été utilisée pour produire la dernière égalité.

Série Gauss-Kummer

En combinant linéairement ces trois formules :

on obtient la formule suivante :

Soit est le module enfant obtenu par la transformation de Landen, on a :

On obtient la série de Gauss-Kummer[31],[32] :

Pendule oscillant

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Une application classique des intégrales elliptiques est le mouvement exact d’un pendule dans le cas où les frottements sont ignorés. Soit la longueur du pendule, l'angle orienté par rapport à la verticale et m/s2 l'accélération de la pesanteur. On a :

En intégrant en fonction du temps à partir de la dernière formule mentionnée, on obtient l'expression suivante :

La période d'oscillation pour un angle initial maximal et une longueur de tige donnés peut être calculée ainsi :

Périmètre et aire d'une courbe cassinienne

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Pour le cas a < c, les ovale de Cassini obéissent à la relation suivante pour les coordonnées cartésiennes :

où a est la distance entre un point focal et l'origine et c est la distance entre un point focal et l'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées.

La longueur de cette courbe est :

La surface déterminée par cette courbe est :

Potentiel scalaire électrique d'une distribution de charge homogène, continue et en forme d'anneau

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Un problème classique de l'électrostatique est le calcul du potentiel scalaire électrique étant donné une distribution de charge spatiale donnée. Avec une distribution de charge homogène et continue en forme d'anneau, le potentiel scalaire électrique peut être décrit à l'aide de l'intégrale elliptique complète de 1re espèce. Dans la solution donnée, représente la charge électrique totale, le rayon de l'anneau et la permittivité du vide. De plus, le potentiel scalaire est exprimé en coordonnées cylindriques . Puisque le résultat ne dépend pas de l'azimut , le problème est à symétrie cylindrique.

Potentiel scalaire électrique d'une distribution dipolaire homogène, continue et en forme d'anneau

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En plus de la simple répartition des charges, il est également possible d'envisager une répartition annulaire de dipôles alignés axialement. La solution du potentiel scalaire électrique est donnée ci-dessous. est la composante du moment dipolaire électrique, représente le rayon de l'anneau et la permittivité du vide. Le potentiel scalaire électrique peut être décrit en utilisant l'intégrale elliptique complète de 2e espèce.

Potentiel vectoriel magnétique d'un conducteur porteur de courant en forme d'anneau

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Un exemple en magnétostatique des courants stationnaires est le calcul du champ magnétique d'un conducteur annulaire à travers lequel circule le courant. Il est conseillé de calculer le Potentiel vecteur du champ magnétique , à partir duquel la densité de flux magnétique peut être déterminée ultérieurement à l'aide du rotationnel. représente ici l'intensité du courant électrique, le rayon du conducteur annulaire et la perméabilité au vide. De plus, le potentiel vectoriel magnétique est exprimé en coordonnées cylindriques et avec le vecteur de base unitaire dans la direction azimutale. La solution est représentée par une combinaison d'intégrales elliptiques complètes de 1re et 2e espèce. Le résultat est donné ici en utilisant la convention de Legendre. L'intégrale de Bulirsch donnée ci-dessous est particulièrement adaptée à l'évaluation numérique de la fonction spécifiée. L'avantage est une plus grande stabilité numérique au voisinage de [33].

Références

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(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Elliptische Integrale » (voir la liste des auteurs).
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Elliptic integral » (voir la liste des auteurs).
(zh) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en chinois intitulé « 椭圆积分 » (voir la liste des auteurs).

Note :

  1. Traduction sourcée souhaitée.

A : Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes - Adrien-Marie Legendre (1825)

B : (en) « Intégrale elliptique », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, (ISBN 978-0521192255)

  1. (en) « Intégrale elliptique », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, (ISBN 978-0521192255)
  2. (en) « Intégrale elliptique », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, (ISBN 978-0521192255)
  3. a et b (en) « Intégrale elliptique », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, (ISBN 978-0521192255)
  4. (en) W. P. Reinhardt et P. L. Walker, « Jacobian Elliptic Functions », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, (ISBN 978-0521192255)
  5. Certaines relations proviennent de l'article homonyme en chinois, lequel présente parfois des erreurs. On se référera à (en) « Intégrale elliptique », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, (ISBN 978-0521192255).
  6. (en) « Intégrale elliptique », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, (ISBN 978-0521192255)

C : Elliptic Integrals - Harris Hancock, John Wiley & Sons, New York (1917)

Autres références :

  1. E. T. Whittaker et Watson, A Course of Modern Analysis, New York, Mac Millan, 1943, p. 515.
  2. (ru) И. С. Градштейн et И. М. Рыжик, Tablitsy integralov, summ, rjadov i proizvedenii, Moscow, Nauka,‎ (LCCN 78876185), « 8.1: Special Functions: Elliptic Integrals and Functions »
  3. William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling et Brian P. Flannery, Numerical Recipes in C, 2, , 261–271 (ISBN 0-521-43108-5, lire en ligne), « Chap. 6.11 Special Functions: Elliptic Integrals and Jacobian Functions »
  4. On rencontre tous les ordres d'arguments : et peuvent être permutés et peut apparaître comme le 1er, le 2ème ou le 3ème argument de et est en outre parfois défini par son opposé . On vérifiera enfin qu'avec la notation avec un point-virgule figure le sinus et avec la virgule figure l'angle. Par exemple, au lieu de , Gradshteyn et Ryzhik[2] utilise , Numerical Recipes[3] utilise , Harris Hancock utilise autant que [C 1] et Legendre lui-même utilise s'il n'y a pas d'ambiguïté[A 1].
  5. La notation avec un indice est une notation pour cet article de Wikipedia, ce n'est pas une notation officielle : l'indice est omis dans les ouvrages. Dans les ouvrages, le contexte permettra de savoir si la convention avec module ou paramètre est utilisée.
  6. désigne aussi
  7. a et b (en) Subrahmanyan Chandrasekhar, Ellipsoidal figures of equilibrium, New Haven, Yale University Press, , 253 p. (ISBN 978-0-486-65258-0)
  8. Un exemple où et sont imaginaires, mais l'intégrale est réelle.
  9. (en) « Evaluation of the complete elliptic integrals by the agm method », sur University of Florida, Department of Mechanical and Aerospace Engineering.
  10. , Numerical calculation of elliptic integrals and elliptic functions, vol. 7, (ISSN 0029-599X, DOI 10.1007/BF01397975)
  11. a et b , Numerical computation of incomplete elliptic integrals of a general form, vol. 59, (ISSN 0923-2958, DOI 10.1007/BF00692874)
  12. Numerical calculation of elliptic integrals and elliptic functions. III, vol. 13, (DOI 10.1007/BF02165405)
  13. « Elliptic Integral Singular Value » (consulté le )
  14. , Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Physicists, Springer Berlin Heidelberg, (DOI 10.1007/978-3-642-52803-3)
  15. (en) « Mathematics : How to integrate ? » (consulté le )
  16. (en) Eric W. Weisstein, « Lemniscate Function » (consulté le )
  17. (en) Eric W. Weisstein, « Lemniscate » (consulté le )
  18. (en) « Question : Numerically computing  » (consulté le )
  19. (de) « Lemniscate of Leaf Function - ProQuest » (consulté le )
  20. a été définit pour l'occasion ; ce n'est pas une définition officielle.
  21. Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen
  22. (en) « Series Expansion of EllipticNomeQ differs from older Mathematica Version » (consulté le )
  23. , Icosahedral symmetry and the quintic equation, vol. 24, (ISSN 0898-1221, DOI 10.1016/0898-1221(92)90210-9)
  24. , Neue Untersuchung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen., vol. 158, (ISSN 0075-4102)
  25. (en) « Series Expansion of EllipticNomeQ differs from older Mathematica Version » (consulté le )
  26. , Icosahedral symmetry and the quintic equation, vol. 24, (ISSN 0898-1221, DOI 10.1016/0898-1221(92)90210-9)
  27. , An iterative method for inversion of power series, vol. 4, (ISSN 0001-0782, DOI 10.1145/366622.366629)
  28. , Application of theta functions for numerical evaluation of complete elliptic integrals of the first and second kinds, Oak Ridge National Lab. (ORNL), Oak Ridge, TN (United States),
  29. , Die Lehre von den Elliptischen Integralen und den ThetaFunctionen,
  30. , Die Lehre von den elliptischen Integralen und den Theta-Functionen, Berlin, G. Reimer,
  31. Une autre formule avec une fonction hypergéométrique pour la série de Gauss-Kummer (qui produit bien sûr les mêmes valeurs) est répertoriée sur math.wolfram.com.
  32. Gérard P. Michon : Périmètre d'une ellipse Section Calculs rapides très précis. Sur : numericana.com Récupéré le 26 juillet 2015.
  33. , Algorithms for Computing the Magnetic Field, Vector Potential, and Field Derivatives for Circular Current Loops in Cylindrical Coordinates, Office of Scientific and Technical Information (OSTI), (DOI 10.2172/1377379)

Bibliographie

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Articles connexes

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Liens externes

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