Mouvement képlérien

Les 3 lois de Kepler ne donnent que peu d'indications sur le mouvement de la planète.

Cet article veut être un approfondissement complémentaire.

Quelques éléments de base

• Données culturelles  :

Les connaissances astronomiques du monde gréco-romain sont résumées par Ptolémée (+ 200 JC), transmises et améliorées par l'empire byzantin sous le nom de « Trismegistie » (le livre du Maître).

Copernic (1543) publie le système héliocentrique.

Kepler, grâce à l'analyse soigneuse des observations précises de son maître Tycho Brahé, publie ses 3 célèbres lois (Cf. Lois de Kepler) en 1609, 1611, 1618.

Newton démontre ces lois en 1687 (Cf. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ; Lois de Kepler, démonstration) : c'est le début d'une nouvelle ère : la mécanique céleste et la mécanique classique fondées sur le Calculus (Cf. Principia et Calculus).

Newton y ose braver un interdit : la notion d'action instantanée à distance ; la gravitation agit instantanément en 1/r². La « résistance cartésienne », plus la très grande difficulté à lire son œuvre provoquera un temps de réception assez long, et il faudra attendre les ouvrages d'Euler, de McLaurin et de Clairaut, pour éclaircir la situation. Néanmoins les plus grands esprits de l'époque (Huygens, Leibniz, etc ...) reconnaissent immédiatement la portée des Principia.

La constante de Gravitation sera évaluée par Cavendish en 1785 : G = 6.67 10^-11 N.m²/kg².

Masse inerte et masse grave sont confondues, ce qui explique la loi de Galilée : indépendance dans la chute libre du corps pesant & inerte : fer ou plume tombent (gravitent) de même façon ! Elevée au rang de Principe d'Equivalence par Einstein en 1915, elle sera un des fondements de la Relativité Générale qui redonne une loi de Newton « corrigée » : il y a action à distance mais non instantanée (via une « distorsion de l'espace-temps », pour le dire vite!)

• Données mathématiques de base :

La géométrie de l'ellipse est essentielle dans l'étude du mouvement keplerien.

Une ellipse de jardinier (F1M + F2M = 2a) s'écrit en cartésiennes : x²/a² + y²/b² = 1

C'est l'affine d'un cercle : x = $a\cdot \cos \phi$ et y = $a\cdot \sin \phi$ .

En coordonnées polaires, F étant pris pour origine, et la direction péricentrique comme axe de base : FM := r = p / ($1+\cos \theta$).

Donc r augmente quand theta augmente de 0 à Pi : theta = 0 [ r= p/(1+e) = a-c ] ; theta = Pi/2 [ r= p ]; theta = Pi/2 +Arctan(b/c) [ r = FB = a ]; theta = Pi [r = FA = p/(1-e) = a+c ].

Bien sûr a² = b² + c² et p = b²/a ; e = c/a < 1 (p := paramètre ou demi-lactus-rectum en latin & e := excentricité).

On pourra consulter l'article (conique, discussion), pour une présentation plus géométrique, centrée sur le problème de Kepler.

• Données physiques de base :

Le Soleil S exerce sur la planète T

la force centripète - GMs m OM/OM³

et donc d²/dt² OM = -GMs OM/OM³ (m disparaît : loi de Galilée).

La force étant en -1/r², l'énergie potentielle par unité de masse est -GMs / r (+ 0, convention dite à l'infini).

[Dans le cas des satellites artificiels de la Terre, on remplace GMs-> GM(Terre) = gR², et l'énergie potentielle massique est -gR²/r. La deuxième vitesse cosmique est donc V2 = sqrt(2gR) = 11,2 km/s . La première vitesse cosmique est V1 = sqrt(gR) = 8 km/s, correspondant à une orbite circulaire basse altitude de 84 minutes, soit environ 17 tours en 1 jour].

Conséquences de base

Le mouvement est donné une fois TMo et Vo données (6 paramètres) ; mais dans le plan de la trajectoire, deux paramètres donnent la trajectoire à une isométrie près : exemples : (a et b) ou (p et e) etc. Et il en faudra 1 de plus pour la donnée de l'isométrie ( la position du périgée en général) et un de plus pour la date de passage au périgée ( ce qui fait bien 4 paramètres)

Le moment cinétique se calcule aisément Lo,donc C:= Lo/m ainsi que l'énergie Eo (négative).

Avec {gR², Eo/m, C^2} ces trois quantités dimensionnellement indépendantes définissent un système d'unités naturelles ; donc tout s'exprime à l'aide de ces 3 grandeurs. En particulier, les trois quantités suivantes :

• le grand axe 2a := f(C^2, Eo/m, gR²) ne dépend pas de C ! et est donc le monôme -gR²/(Eo/m) *cste (Cf. le théorème PI): cette cste vaut 1 :

$2a={\frac {gR^{2}}{-E_{0}/m}}$

(calculable aisément via le cas d'une trajectoire circulaire)

• le paramètre p, lui, ne dépend pas de Eo et est donc le monôme (Lo/m)²/gR² * cste : la cste vaut 1 :

$p={\frac {C^{2}}{gR^{2}}}$

(formule calculable aisément aussi via le cas circulaire)

• le vecteur excentricité e (Invariant de Runge Lenz) :

${\vec {e}}=-{\vec {u}}+{\frac {{\vec {v}}\wedge {\vec {C}}}{gR^{2}}}$

Il est constant, dirigé vers le périgée et de module e, l'excentricité et e²-1 = -p/a.

Les 3 lois de Kepler et ces trois formules permettent de comprendre la plupart des problèmes, (en particulier les problèmes de balistique extérieure et ceux des satellites artificiels).

Remarque : les conséquences 1 et 2 viennent de Leibniz (1689) par l'intermédiaire de son théorème de l'énergie cinétique :

$E_{o}/m={\frac {{\dot {r}}^{2}}{2}}-{\frac {gR^{2}}{r}}+{\frac {C^{2}}{2r^{2}}}$

où le terme ${\frac {C^{2}}{2r^{2}}}$ désigne la barrière centrifuge, variant selon $r$,

ce qui correspond à une équation différentielle de Newton, dite de Leibniz :

$m{\ddot {r}}=-{\frac {mgR^{2}}{r^{2}}}+{\frac {L_{o}^{2}}{mr^{3}}}$

qui a été étudiée en cinématique (Cf. diagramme horaire, mouvement de Leibniz).

La conséquence 3 est due à Hermann (1710 & 1713)), redécouverte par Laplace, puis réutilisée par Runge et Lenz (Cf. Invariant de Runge Lenz).

Equation du temps de Kepler

Les équations du mouvement sont plus difficiles.

L'habitude est de passer par l'anomalie excentrique(:= phi):

elle est reliée à theta angle polaire par la relation : $tan{\theta \over 2}=tan{\phi \over 2}{\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}$.

(un peu de géométrie permet de le démontrer; on vérifiera les cas particuliers simples).

Et TM := $r=a(1-e\cdot \cos \phi )$.

En un tour, de durée T, phi varie de 2Pi :

$\omega t=\phi -e\cdot \sin \phi$.

Cette formule s'appelle équation du temps, de Kepler

Rappel : la pulsation w = 2.Pi/T dépend de a mais pas de l'excentricité e, donc se calcule via un mouvement circulaire:

$-\omega ^{2}a=-{\frac {gR^{2}}{a^{2}}}$.(troisième loi de Kepler)

L'équation de Kepler et son inversion

Durant 300 ans, les mathématiciens se sont préoccupés de trouver theta(t), puisque l'observable la plus facile à repérer est la position du Soleil dans le ciel.

Passer de theta à phi et réciproquement est aisé.

Par contre $\omega t=\phi -e\cdot \sin \phi$ s'inverse difficilement (Cf. COLWELL, solving Kepler's equation over three centuries ; ed Willmann-Bell, 1993)

L'article Résolution de l'équation de Kepler donne :

• le développement de Fourier de phi(t) avec comme coefficients les fonctions de Bessel J_n(ne) ou bien
• le développement en série de l'excentricité e :

$\phi (t)=\Sigma _{k=0}^{\infty }A_{k}(\omega t)e^{k}$ pour e assez petit :

e < E max = 0.662...

Remarque d'histoire des sciences : ce résultat fût trouvé par Cauchy qui inventa exprès la méthode des séries entières de la variable complexe z pour trouver ce résultat ! [On obtient E, tel que E = $2{\sqrt {x(1-x){\frac {1}{1-2x}}}}$ et x tel que (1-x)/x = exp (2/(1-2x)), soit E = 0.662 743 419 349 182 ...(Cf. discussion pour approfondissement) !

Quelques démonstrations géométriques historiques

Newton (1684)

• 1/. la première, celle de Newton en novembre 1684, est géométrique, le temps étant évalué par l'aire balayée (2ème loi de Kepler) : l'analyse en est faite dans l'Exégèse des Principia.

Hermann (1710)

• 2/. la plus simple (1710 & 1713) est celle de Jakob Hermann (1678-1733), élève de Jacques Bernoulli (1654-1705) : il écrit à Jean Bernoulli (1667-1748) : on remarque que l'hodographe est un cercle (notion de vecteur excentricité) : en calculant le produit scalaire e.r, on trouve l'ellipse et son péricentre. L'analyse est faite dans Invariant de Runge Lenz.

Laplace la reprendra dans son traité de « Mécanique Céleste ».

Que cela est vite dit dans notre langage moderne ! En réalité, la démonstration géométrique est la remarque classique sur le rôle des podaires dans le cas de champs centraux. Danjon remarque (avec Hamilton) que l'antipodaire de l'inverse d'un cercle est une conique : cela était enseigné encore au baccalauréat des années 60 (Cf. LEBOSSÉ & EMERY, cours de mathématiques élémentaires).

Quant à Hermann, c'est un tour de force :

Il possède trois intégrales premières en coordonnées cartésiennes tirées de ${\ddot {x}}=-gR^{2}\cdot x\cdot r^{-3}$ et idem en y.

• $C:=x{\dot {y}}-y{\dot {x}}$
• $E_{x}:={\frac {x}{r}}-{\frac {C}{gR^{2}}}\cdot {\dot {y}}$
• $E_{y}:={\frac {y}{r}}-{\frac {C}{gR^{2}}}\cdot {\dot {x}}$

Eliminer la vitesse : on trouve $x\cdot E_{x}+y\cdot E_{y}=r-p$ : c'est une ellipse (Cf. conique, Kepler). Mais comment a-t-il trouvé les deux intégrales premières du vecteur excentricité ? par un raisonnement analytico-géométrique horriblement compliqué ! On sait aujourd'hui le faire par la théorie de la représentation linéaire des groupes (Moser et SO(4) :1968)

Transmutation de la force

• 3/. la plus surprenante est celle de la Transmutation de la force (Newton, retrouvé par Goursat (1889)): ce théorème est EXTRAORDINAIRE et apprécié des afficionados des Principia.

Keill (1708)

• 4. la classique : Newton-Keill (en 1708) - Bernoulli (1719)

Le problème est plan, si la force est centrale. Le plan de phase est donc ($x,y,{\dot {x}},{\dot {y}}$). Les deux équations du PFD (principe fondamental de la dynamique) sont :

${\ddot {x}}=-\Omega ^{2}\cdot x$

et la même en y.[Evidemment $\Omega$ dépend de r!]. Cette notation est évidemment très réminiscente de celle de Hooke. Mais elle n'a rien à voir, sinon que la symétrie est centrale.

Choisir trois fonctions invariantes par rotation :

• $I:=1\cdot (x^{2}+y^{2})=r^{2}$, strictement positif,
• $J:=2\cdot (x{\dot {x}}+y{\dot {y}})$, de sorte que ${\dot {I}}=J(=2r{\dot {r}})$,
• $K:={\frac {v^{2}}{2}}$, énergie cinétique.

Remarquer cette particularité : r² est choisie comme variable, et non r. Et comme J est non-nulle, I va jouer le rôle d'une échelle de temps au moins sur une demi-période, du périgée à l'apogée.

Démontrer que le problème se réduit à un système (S) d'ordre trois :

• ${\dot {I}}=J$ (déjà vu)
• $2{\dot {J}}=2K-I\Omega ^{2}(I)$ ( th du viriel !)
• $2{\dot {K}}=-J\Omega ^{2}(I)$ (loi de Newton!)

- - - Keill utilise alors le "temps" I (sans doute ?)le système se réduit à :

• $J{\frac {dJ}{dI}}=K-I\Omega ^{2}/2$
• ${\frac {dK}{dI}}=-\Omega ^{2}/2$

En éliminant Omega² ( et quelle que soit sa valeur ! donc c'est vrai pour toute force centrale!)

$K={\frac {J^{2}}{8I}}+{\frac {C^{2}}{2I}}$.

C'est un vrai tour de force : au debut du XVIIIème , on vient de réécrire :

$2KI=v^{2}\cdot r^{2}=[{\vec {r}}\cdot {\vec {v}}]^{2}+[{\vec {r}}\wedge {\vec {v}}]^{2}=[{\vec {r}}\cdot {\vec {v}}]^{2}+C_{0}^{2}$

Emmy Noether connaissait-elle cette démonstration de l'invariance par rotation ?

- - -

L'invariance temporelle donne la conservation de l'énergie :

$1.\cdot H=K+V(I)$, où V(I) est l'énergie potentielle relative à la force centrale (= $-{\frac {1}{2}}\int \Omega ^{2}dI)$

- - -

Ces deux ensembles de surfaces feuillettent l'espace (I,J,K) et leur intersection donne l'orbite du mouvement dans cet espace.

Éliminer K conduit à travailler dans le demi-plan ($I,J={\dot {I}}$), c'est à dire dans un plan de phase presque usuel (on joue avec r² plutôt qu'avec r) :

$H={\frac {J^{2}}{8I}}+{\frac {C^{2}}{2I}}+V(I)$,

ce qui est l'équation, dite souvent de Leibniz(1689), mais en notation I = r². (Remarquer que tout résulte de cette circonstance (non évidente du temps où les vecteurs n'existaient pas) :

$x{\dot {x}}+y{\dot {y}}=r{\dot {r}}$)

et, comme d'habitude, dt = dI/J donne le mouvement sur cette orbite de phase et la primitive de J(I) donne l'action S(I) du problème.

Evidemment, pour nous actuellement, nous repasserions immédiatement en coordonnées ( r et r').

Il n'empêche que voilà décrite la solution incroyable de Keill qui témoigne d'une ingéniosité tombée dans l'oubli de l'Histoire.

Note d'histoire

cette équation ayant été écrite par Lagrange sous cette forme, le H ne saurait signifier « valeur de l'Hamiltonien » ! Peut-être faut-il y voir un hommage à Huygens (?), premier à utiliser la généralisation du théorème de l'énergie cinétique de Torricelli ? peut-être est-ce une simple notation fortuite...

La suite est très classique et correspond à différents paramétrages dans le cas de Kepler :

L'équation de Leibniz se réécrit dans ce cas :

$H\cdot 8r^{2}-4C^{2}+8gR^{2}\cdot r=J^{2}$

qui est une conique en J et r, ellipse si H est négatif de grand axe $2a=-{\frac {gR^{2}}{H}}$ :

Il est usuel alors de paramétrer via l' »anomalie excentrique » :

$r=a\cdot (1-e\cos {\phi })$,

et « miraculeusement » :

$\omega \cdot dt={\frac {r}{a}}\cdot d\phi$ ,

qui s'intègre en donnant la fameuse équation de Kepler. En contrepartie l'équation en theta est légèrement plus compliquée à intégrer (primitive de ${\frac {1}{r}}$) d'où :

$tan{\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot tan{\frac {\phi }{2}}$.

Clairaut (1741)

• 5/. la méthode de Clairaut (1741), reprise par Binet consiste à écrire l'équation de Leibniz à l'aide de u := 1/r :

${\dot {r}}^{2}=2H+2gR^{2}\cdot u-C^{2}\cdot u^{2}$

et cette fois le paramétrage adéquat est :

$u:=1+e\cdot \cos \alpha$ et ${\dot {r}}:=e\cdot \sin \alpha$

ce qui conduit au « miraculeux » $d\theta =d\alpha$ ! la trajectoire est donc une ellipse. Mais la deuxième intégration conduit à $dt=d\alpha \cdot 1/q^{2}$ plus difficile à intégrer (mais tout à fait faisable !)

Lagrange (1778)

• 6/. la méthode de Lagrange est originale (1778) et n'utilise que la linéarité de F = m.a !

Partant de l'équation radiale de Leibniz(1689) :

${\ddot {r}}=C^{2}u^{3}-e^{2}u^{2}$

il pose comme nouvelle variable z = C²-r et trouve :

${\ddot {z}}=-gR^{2}\cdot z\cdot u^{3}$,

identique aux deux équations de départ en x & y : donc il obtient z & x & y linéairement liés, ce qui est la définition d'une ellipse (Cf. conique, discussion). CQFD

Laplace (1798)

• 7/. Laplace, sans citer Lagrange, calcule, en force brutale, sans aucune intégrale première, l'équation en I du troisième ordre issue du système (S) : d'où d³I/dt³ = -(dI/dt)/ sqrt(I^3).

Laplace en tire 4 équations linéaires identiques : d/dt(r^3.Z") = - Z', avec Z = r, x, y, cste. D'où r +cste = a x + by : c'est une conique !

L'interprétation physique n'est pas très intuitive !

Hamilton (1846)

• 8/. Soit une ellipse ; le foyer F et sa polaire, la directrice (D). Soit P le point courant de l'ellipse et PH sa projection sur la polaire. Le théorème de Newton-Hamilton donne immédiatement la force centrale F ~ r/PH^3 soit ~ 1/r².e³.

• 9/. Hamilton démontre aussi que pour toute mouvement sur une ellipse de paramètre Po, |a/\v|.Po = C^3/r^3. Donc si le mouvement est central de foyer F, |a/\v| = a.C/r d'où a ~ 1/r².

• 10/. Hamilton est aussi le promoteur du renouveau de la méthode de l'hodographe circulaire que Feynman reprendra à son compte dans ses « lectures on Physics »

• 11/ Hamilton va inspirer le Théorème de Siacci et puis Minkovski qui donnera beaucoup de propriétés des ovales : ceci donne encore une autre démonstration.

• 12/. Goursat (1889), Bohlin(1911), AKN {Arnold & Kozlov, Neishtadt} reprennent la méthode z-> sqrt(z) = Z et le changement d'échelle de temps (dit de Levi-Civita) dt/dT = 4 |z| : quelques lignes de calcul donnent via le théorème de l'énergie cinétique : |dZ/dT|² = 8 GM + 8 E |Z|² ; soit par dérivation ${d^{2}Z \over dT^{2}}-8EZ=0$, avec E négatif. Donc Z décrit une ellipse de Hooke et sqrt(Z) l'ellipse de Kepler. On aura reconnu en T, l'anomalie excentrique. Ce n'est donc qu'une des méthodes précédentes : mais cette méthode a des prolongements plus importants (Cf. théorème de Bertrand).Voir aussi plus bas.

Les échelles de temps et dualité

la dualité (r & $\phi$) et (u & $\theta$) est directement liée aux échelles de temps (Cf. échelle de temps en mécanique classique).

• En effet, la loi des aires étant connue, il apparaît logique de prendre comme échelle de temps $d\theta (t)={\frac {C}{r^{2}}}dt$ . Alors il vaut mieux choisir u := 1/r comme fonction inconnue ; c'est la méthode de Clairaut-Binet, avec l'anomalie vraie (l'angle polaire).

• mais tout aussi logique est l'échelle de temps $d\phi =C/r\cdot dt$. Alors ce qui convient le mieux est la fonction inconnue r : c'est la méthode de l'anomalie excentrique.

• Assez curieusement, ce changement de dt intervient aussi dans le phénomène d'aberration de la lumière traité en mécanique relativiste. L'explication, assez subtile, est : les deux sont reliés à SO(3,1)

Évidemment, on pense aussi à $d\psi =C/r^{3}\cdot dt$ . Cela correspond-il à quelque « réalité » géométrique ? la réponse est oui! l'Hodographe est un cercle avec le centre de force à l'intérieur. Cet Hodographe est parcouru selon la loi des aires ! et $\psi$ est le bon paramétrage.

Tout ceci est lié avec des calculs de moyenne de (1/r)^k en mécanique quantique de l'atome d'hydrogène.

Dans l'article échelle de temps en mécanique classique, est discuté un autre aspect de ces changements d'échelle.

Hooke et Kepler, ou de Thomson à Rutherford

z->z² dans le plan complexe de la trajectoire est aussi une très jolie démonstration, très proche sans doute de celle du deMotu. La présentation sera celle de V.I. Arnold (1990, ed Birkhauser).Voir aussi Needham (Visual Complex Analysis).Goursat (CRAS,1889)

Partir de la définition de la Hire d'une ellipse (H), [H, pour Hooke] :

$2z=(a+b)\cdot exp(i\omega t)+(a-b)\cdot exp-(i\omega t)$

C'est une ellipse de Hooke, parcourue sous l'action de l'accélération centrale : $-\omega ^{2}{\vec {OP}}$.

Effextuons la transformation conforme Z = z² :

$4Z=(a+b)^{2}\cdot exp(2i\omega t+(a-b)^{2}\cdot exp-2i\omega t+2(a^{2}-b^{2})$.

C'est encore une ellipse de la Hire, la dénommer (K) [K pour Kepler] ! mais d'excentricité différente E = C/A = c²/ab, et cette fois, le point O est le FOYER de l'ellipse. D'autre part, la période de l'orbite est T/2 !

Elle est encore décrite selon la loi des aires par rapport à O! et donc d'après Clairaut-Binet-Siacci-Hamilton la force est newtonienne !

Prenons comme loi de force celle de la théorie de Thomson (théorie dite de l'électron élastiquement lié) . La simple transformation conforme Z = z² la transmute en la théorie de Rutherford de l'électron planétaire autour d'un noyau central.

conséquences quantiques

Pauli(1925) a vite compris le parti qu'il pouvait tirer de cette correspondance : son camarade, Heisenberg, venait de quantifier l'oscillateur harmonique, facilement généralisable en 3D . Il restait à faire « Z = z^2 ».

C’est-à-dire à comprendre les symétries de l'oscillateur 3D et celle de l'atome d'hydrogène. Évidemment il trouva comme invariant L, le moment cinétique ; mais aussi le vecteur excentricité E (« perpendiculaire à L »). Pour une énergie négative, cela correspondait à une symétrie SO(4), et pour une énergie positive à une symétrie SO(3,1) qu'il connaissait bien, puisqu'il s'agit du groupe des transformations de Lorentz, qu'il avait si bien décrit à l'âge de 21 ans dans la célèbre Handbuch der Physik, et dont les générateurs infinitésimaux étaient bien connus (les 6 rotations infinitésimales dans l'espace de Minkowski donnent (Cf. Jackson, Electromagnétisme, ed Dunod, 2000 ou bien Goldstein, mécanique classique) le moment cinétique généralisé ( L,K) avec L.K =0 . Il en résulte une résolution immédiate et élégante de l'équation de Schrodinger, analogue quantique de celle de Hermann(1710)(voir Théorie de Pauli de l'atome d'hydrogène.

D'autre part le Z= z² se traduit par le fait que les Polynômes d'Hermite orthogonaux avec une densité de mesure en exp-(x^2+y^2+z^2).dx dy dz = r^2.exp-r^2 .dr se retrouvent en correspondance avec les polynômes de Laguerre orthogonaux avec une densité de mesure en exp-r.dr . Bander & Itzykson (Rev.Mod.Phys 1966,38,330-345) passent en revue cet aspect inattendu de la correspondance Hooke-Kepler.

Évidemment, pour une énergie positive, la symétrie de groupe est celle de SO(3,1), ce qui brouille quelque peu les cartes : le spectre continu de l'atome d'hydrogène n'est pas aussi simple que son spectre discret, non plus que les fonctions propres.

Perturbation de Kepler : effet Stark classique

Si à la force newtonienne vient se rajouter une petite force F, la trajectoire va être légèrement perturbée. Néanmoins si F est parallèle au vecteur excentricité, la symétrie ne sera pas entièrement détruite. Il convient de prendre les bonnes coordonnées pour traiter ce problème. Comme on sait traiter le mouvement keplerien en système de coordonnées paraboliques, il faut évidemment en profiter.

Mais si F devient trop grand, il apparaît clairement que l'atome va pouvoir s'ioniser plus facilement.

En mécanique quantique cela sera encore plus évident via l'effet tunnel, conduisant à l'ionisation Stark, fragilisant surtout les atome de Rydberg.

Mouvement d'Euler à 2 centres d'attraction

Euler a vite compris que la composante du vecteur excentricité permettait d'intégrer le problème à 2 soleils fixes et une planète. Cela s'opère grâce à un système de coordonnées bifocales

Mouvement si Terre-galette (Béletskii)

Beletskii a fait remarquer que le problème d'Euler pouvait s'appliquer à un Soleil légèrement allongé de forme cigare. Par prolongation analytique, avec des masses « imaginaires », il a proposé une interprétation simple du mouvement d'un satellite terrestre sous l'action perturbante du bourrelet (le terme J2(P2(cos(theta)/r³) dans le potentiel gravitationnel. On retrouve les effets décrits dans satellite artificiel.

Perturbation de Kepler par planète proche : Terre & Lune

Ce problème est ardu : Newton disait que cela lui donnait mal à la tête.

Il a fallu attendre Clairaut (1741) pour avoir une première théorie de la Lune.

Aujourd'hui avec les miroirs posés sur la Lune (Apollo et Lunakhod), on peut comparer la théorie analytique à celle numérique. La précision théorique des LLR (laser lunar range: tir laser vers la Lune) est de quelques centimètres. La théorie analytique comprend plusieurs milliers de termes, mais donne aussi une précision de quelques mètres. à compléter (séminaire Laskar du 09/03/06).

Perturbation de Kepler par planète lointaine : Terre & Jupiter

Là, le problème est plus facile . L'essentiel de la méthode consiste en une méthode variable rapide- variable lente, due à Legendre, puis Gauss. à compléter.

Perturbation de Kepler et symétries

Bien sûr, chaque fois qu'un système possède une symétrie continue, le théorème de Noether donne une intégrale première, ce qui permet d'éliminer une variable de l'espace des phases.

Comment s'opère cette réduction ?

Le livre de Cordani, celui de Marsden & Ratiu expliquent cette réduction.

Enfin, le problème garde toujours sa symétrie symplectique : il faudra expliquer comment fonctionnent les intégrateur symplectique (Laskar & Robutel, Celestial Mechanics, 2001,80, 39-62).

Liens externes

• Définition et démonstration des lois de Kepler, sur le site Astrophy (en français)
• Démonstration des trois lois de Kepler et propriétés d'une ellipse

Voir aussi

• Lois de Kepler
• Lois de Kepler, démonstration
• Invariant de Runge Lenz
• Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
• Principia et Calculus
• Exégèse des Principia
• Accélération de Siacci
• Théorème de Newton-Hamilton
• échelle de temps en mécanique classique
• Balistique extérieure
• Satellite artificiel
• diagramme horaire , mouvement de Leibniz

Références

• Danjon : cours de cosmographie de mathématiques élementaires,1950
• Maillard et Millet : cours de cosmographie de mathématiques élémentaires, 1956
• Wintner : analytical foundations of celestial mechanics, 1941, Princeton
• Densmore, Newton's Principia, 1995, ed Green Lion Press, ISBN 1-888009-01-2
• Brackenridge, Key to Newton's dynamics, 1995, u California p, ISBN 0-520-20065-9
• Guicciardini, reading the Principia ,1999, CUP, ISBN 0-521-64066-0
• Cordani, the Kepler problem, 2003, ed Birkhauser, ISBN 3-7643-6902-7

• J.Keill, philosophical transactions, 26/1 (1708), 174.
• Hermann, Histoires de l'Académie Royale des Sciences, paris (1710), 519-544.
• Leibniz, Tentamen de Motuum, Acta Eruditorum (1689), 82-96
• Varignon, mémoires de l'Ac Roy de Paris, (1700),280.