Théorème de représentation de Riesz (Fréchet-Riesz)
Le théorème de représentation de Riesz, en l'honneur du mathématicien Frigyes Riesz, est un théorème qui représente les éléments du dual d'un espace de Hilbert comme produit scalaire par un vecteur de l'espace.
Ce théorème est aussi parfois appelé théorème de Fréchet-Riesz (à ne pas confondre avec le théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov). Il s'apparente singulièrement au théorème de Lax-Milgram qui englobe l'énoncé ci-dessous. Pour tout vecteur y d'un espace de Hilbert H, la forme linéaire qui à x associe 〈y, x〉 est continue sur H (sa norme est égale à celle de y, d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz). Le théorème de Riesz énonce la réciproque : toute forme linéaire continue sur H s'obtient de cette façon[1].
Énoncé
Soient :
- H un espace de Hilbert (réel ou complexe)[2] muni de son produit scalaire noté 〈∙, ∙〉.
- f ∈ H' une forme linéaire continue sur H.
Alors il existe un unique y dans H tel que pour tout x de H on ait f(x) = 〈y, x〉.
Démonstration
Unicité de y
Soient y et z deux éléments de H vérifiant f(x) = 〈y, x〉 = 〈z, x〉.
Pour tout vecteur x de H, on a 〈y – z, x〉 = 0. En particulier, ║y – z║2 = 〈y – z, y – z〉 = 0, d'où y = z.
Existence de y en dimension finie
Si H est de dimension finie, l'existence se déduit de l'unicité. En effet, puisque l'application de H dans son espace dual (de même dimension sur R) qui à tout y associe la forme linéaire 〈y, ∙〉 est R-linéaire (antilinéaire dans le cas complexe) et injective, elle est surjective.
Existence de y en dimension quelconque
Si f est la forme nulle, il suffit de choisir y = 0.
Supposons que f n'est pas identiquement nulle. Son noyau ker(f) est alors distinct de H. Or c'est un sous-espace vectoriel de H (par linéarité de f) et il est fermé (car c'est l'image réciproque du fermé {0} par l'application continue f). D'après le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert on en déduit que ker(f)⊥ n'est pas réduit à {0}.
Soit donc b un vecteur non nul orthogonal à ker(f).
Pour tout x de H, posons
Ainsi, px appartient au noyau ker(f), en particulier 〈b, px〉 = 0.
En développant, on obtient
D'où finalement
avec
Extension aux formes bilinéaires
Si a est une forme bilinéaire continue sur un espace de Hilbert réel H (ou une forme sesquilinéaire complexe continue sur un Hilbert complexe), alors il existe une unique application A de H dans H telle que, pour tout (u, v) ∈ H × H, on ait a(u, v) = 〈Au, v〉. De plus, A est linéaire et continue, de norme égale à celle de a.
Cela résulte immédiatement de l'isomorphisme canonique (isométrique) entre l'espace normé des formes bilinéaires continues sur H × H et celui des applications linéaires continues de H dans son dual, et de l'isomorphisme ci-dessus entre ce dual et H lui-même.
Notes et références
- Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions] p. 77
- Dans le cas complexe, deux conventions coexistent (voir l'article Forme sesquilinéaire complexe) : produit scalaire 〈v, w〉 linéaire par rapport à v et semi-linéaire par rapport à w, comme dans les articles Espace préhilbertien et Espace de Hilbert, ou l'inverse, comme ici et dans l'article Dual topologique. Les formules sont à adapter en fonction de la convention choisie.