Théorème de représentation de Riesz (Fréchet-Riesz)

Il existe en analyse fonctionnelle plusieurs théorèmes nommés théorème de représentation de Riesz, en l'honneur du mathématicien Frigyes Riesz.

Le théorème de représentation de Riesz dans les espaces de Hilbert

Ce théorème est aussi parfois appelé théorème de Fréchet-Riesz (à ne pas confondre avec le théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov). Il s'apparente singulièrement au théorème de Lax-Milgram qui englobe l'énoncé ci-dessous. Pour tout vecteur y d'un espace de Hilbert H, la forme linéaire qui à x associe <y,x> est continue sur H (sa norme est égale à celle de y, d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz). Le théorème de Riesz énonce la réciproque : toute forme linéaire continue sur H s'obtient de cette façon.

Énoncé

Soient :

• $H$ un espace de Hilbert (réel ou complexe) muni de son produit scalaire noté $\langle .,.\rangle$
• $f\in H'$ une forme linéaire continue sur $H$.

Alors il existe un unique $y$ dans $H$ tel que pour tout $x$ de $H$ on ait $f(x)=\langle y,x\rangle$.

$\exists \,!\ y\in H\,,\quad \forall x\in H\,,\quad f(x)=\langle y,x\rangle$

Démonstration

Unicité de $y$

Soient $y$ et $z$ deux éléments de $H$ vérifiant $f(x)=\langle y,x\rangle =\langle z,x\rangle$.

Pour tout $x\in H$ on a $\langle y-z,x\rangle =0$ et en particulier $\|y-z\|^{2}=\langle y-z,y-z\rangle =0$ d'où $y=z$.

Existence de $y$ en dimension finie

Si H est de dimension finie, l'existence se déduit de l'unicité. En effet, puisque l'application de $H$ dans son espace dual (de même dimension sur R) qui à tout y associe la forme linéaire <y, > est R-linéaire (antilinéaire dans le cas complexe) et injective, elle est surjective.

Existence de $y$ en dimension quelconque

Si $f\equiv 0$, il suffit de choisir $y=0$.

Supposons $f\not \equiv 0$. Le noyau $\ker(f)$ de $f$ est alors distinct de $H$. Or c'est un sous-espace vectoriel de $H$ (par linéarité de $f$) et il est fermé (car c'est l'image réciproque du fermé {0} par l'application continue $f$). D'après le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert on en déduit que $\ker(f)^{\bot }$ n'est pas réduit à {0}.

Soit donc $b$ un vecteur non nul orthogonal à $\ker(f)$.

Pour tout $x\in H$, posons $p_{x}=x-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}b$.

Ainsi $p_{x}\in \ker(f)$ et en particulier $\langle b,p_{x}\rangle =0$.

En développant, on obtient

$0=\left\langle b,x-{f(x) \over f(b)}b\right\rangle =\langle b,x\rangle -{f(x) \over f(b)}\|b\|^{2}$

D'où finalement

$f(x)={\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}\langle b,x\rangle =\langle y,x\rangle$

avec $y={\tfrac {\overline {f(b)}}{\|b\|^{2}}}b$.

Extension aux formes bilinéaires

Énoncé

Si $a$ est une forme bilinéaire continue sur un espace de Hilbert réel ${\mathcal {H}}$ (ou une forme sesquilinéaire complexe continue sur un Hilbert complexe), alors il existe une unique application A de ${\mathcal {H}}$ dans ${\mathcal {H}}$ telle que, pour tout $(u,v)\in {\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}$ on ait $a(u,v)=\langle Au,v\rangle$. De plus, A est linéaire et continue, de norme égale à celle de a.

$\exists !\,A\in {\mathcal {L}}({\mathcal {H}}),\ \forall (u,v)\in {\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}},\ a(u,v)=\langle Au,v\rangle$

Démonstration

Démontrons-le dans le cas réel (le cas complexe est analogue). Pour un vecteur fixé $u$ de ${\mathcal {H}}$, le théorème de représentation de Riesz assure de l'existence d'un unique vecteur $A_{u}$ dans ${\mathcal {H}}$ tel que : pour tout $v\in {\mathcal {H}}$, $a(u,v)=\langle A_{u},v\rangle$

On pose $A:u\mapsto A_{u}$ défini tel que décrit ci-dessus. Pour tous $v,u_{1},u_{2}$ de ${\mathcal {H}}$ et tout réel $\lambda$ on a

$\langle A(u_{1}+\lambda u_{2}),v\rangle =a(u_{1}+\lambda u_{2},v)=a(u_{1},v)+\lambda a(u_{2},v)=\langle A(u_{1})+\lambda A(u_{2}),v\rangle$

donc $A$ est linéaire.

Soit $c$ la norme de l'application bilinéaire continue $a$. Pour tous vecteurs $u,v$ on a :

$|\langle Au,v\rangle |=|a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|$.

Pour $v=Au$, on en déduit $\|Au\|\leq c\|u\|$. Donc l'application linéaire A est continue, et sa norme - notons-la d - est inférieure ou égale à c.

Montrons l'inégalité inverse. Pour tous vecteurs $u,v$ on a :

$|a(u,v)|=|\langle Au,v\rangle |\leq \|Au\|\|v\|\leq d\|u\|\|v\|$,

donc c est inférieure ou égale à d, d'où l'égalité.

Le théorème de représentation de Riesz en théorie de la mesure

Partant d'une mesure de Borel (positive) sur un espace topologique $X$, on peut l'utiliser pour intégrer toutes les fonctions numériques continues à support compact. L'application ainsi définie sur l'espace vectoriel $C_{c}(X)$ composé de toutes ces fonctions est clairement une forme linéaire positive (i. e. qui envoie toute fonction à valeurs positives sur un réel positif).

Le théorème de représentation de Riesz établit sous certaines hypothèses la réciproque de cette propriété : on se donne une forme linéaire positive sur $C_{c}(X)$, et on veut savoir si elle peut être représentée comme intégrale par rapport à une mesure de Borel, et si oui si la mesure est unique.

Prouvé en 1909 par Frigyes Riesz dans le cas particulier où $X$ est un intervalle compact de la droite réelle, le théorème a connu des généralisations successives : ainsi par Andreï Markov au cas où $X$ = R, par Stanisław Saks pour $X$ métrique compact, puis par Shizuo Kakutani pour $X$ topologique compact séparé. Il en existe un grand nombre de variantes, et il s'agit plutôt aujourd'hui d'une collection de théorèmes dont quelques énoncés sont présentés ci-dessous.

Énoncé

Soit $X$ un espace séparé localement compact, et soit $\Lambda$ une forme linéaire positive sur $C_{c}(X)$. Alors il existe une tribu ${\mathfrak {M}}$ contenant les boréliens, et une unique mesure $\mu$ sur ${\mathfrak {M}}$ telles que :

1. $\forall f\in C_{c}(X)$, $\Lambda (f)=\int f\mathrm {d} \mu$
2. Pour tout compact $K$ de X, $\mu (K)<\infty$
3. Pour tout $E\in {\mathfrak {M}}$, $\mu (E)=\inf\{\mu (V),E\subset V{\rm {ouvert}}\}$
4. Pour tout $E$ ouvert de $X$ ou appartenant à ${\mathfrak {M}}$ et vérifiant $\mu (E)<\infty$, $\mu (E)=\sup\{\mu (K),K\subset E,K{\text{ compact}}\}$

La mesure $\mu$ est construite comme suit :

• Pour tout ouvert $V$ de X, on pose $\mu (V)=\sup\{\Lambda (f)\}$ où $f$ décrit l'ensemble des fonctions à valeurs dans [0,1] et dont le support est compact et inclus dans $V$.
• Pour toute partie $E$ de $X$, on pose $\mu (E)=\inf\{\mu (V),E\subset V{\rm {ouvert}}\}$
• La tribu ${\mathfrak {M}}$ est constituée des parties $E$ de $X$ telles que, pour tout compact $K$, $\mu (E\cap K)=\sup\{\mu (K'),K'{\rm {compact}}\subset E\cap K\}$

Utilisations

Il est possible de construire la mesure de Lebesgue à partir d'une théorie élémentaire d'intégration des fonctions continues en s'appuyant sur ce théorème, plutôt que de se baser sur le volume des parallélépipèdes pour initier la construction.