Conjecture de Littlewood
En mathématiques, la conjecture de Littlewood est un problème ouvert (en avril 2024) en approximation diophantienne, proposée par John Edensor Littlewood vers 1930. Elle affirme que pour deux nombres réels quelconques et ,
où est la distance à l'entier le plus proche.
Formulation et explication
[modifier | modifier le code]On peut voir la conjecture comme suit: on choisit un point dans le plan, puis on considère la suite de points
Pour chacun d'entre eux, on multiplie la distance à la droite la plus proche avec la coordonnée entière par la distance à la droite la plus proche avec la coordonnée entière . Ce produit sera certainement au plus égal à 1/4. La conjecture ne dit pas que cette suite de valeurs converge ; ce n'est généralement pas le cas, en fait. La conjecture concerne la limite inférieure et dit qu'il existe une sous-séquence pour laquelle les distances décroissent plus vite que l'inverse, c'est-à-dire en avec la notation de Landau.
En d'autres termes, la conjecture dit que pour tout et il y a une infinité d'entiers , tel que l'égalité soit réalisée.
Connexion à d'autres conjectures
[modifier | modifier le code]Il et connu que la conjecture est une conséquence d'un résultat en géométrie des nombres, concernant le minimum, pour un point d'un réseau non nul dun produit de trois formes linéaires en trois variables réelles : l'implication a été montrée en 1955 par John Cassels et Peter Swinnerton-Dyer[1]. Elle peut être formulée d'une autre manière, en termes de théorie des groupes. Il existe une autre conjecture, pour : elle s'exprime en termes de , Γ = SLn(Z) et du sous-groupe des matrices diagonales dans .
Conjecture.— Pour tout tel que est relativement compact dans ), l'ensemble est fermé.
Cette conjecture est à son tour est un cas particulier d'une conjecture générale de Margulis concernant les groupes de Lie.
Résultats partiels
[modifier | modifier le code]Borel a montré en 1909 que l'ensemble exceptionnel des couples réels ne respectant l'énoncé de la conjecture est de mesure de Lebesgue nulle[2]. Manfred Einsiedler, Anatole Katok et Elon Lindenstrauss ont montré [3],[4] qu'il doit avoir une dimension de Hausdorff nulle[5]; et est en fait une union dénombrable d'ensembles compacts de dimension de Minkowski-Bouligand nulle. Ce résultat a été prouvé en utilisant un théorème de classification des mesures pour les actions diagonalisables des groupes de rang supérieur, et un théorème d'isolement prouvé par Lindenstrauss et Barak Weiss.
Ces résultats impliquent que des paires non triviales vérifiant la conjecture existent : en effet, étant donné un nombre réel tel que , il est possible de construire un explicite tel que vérifie la conjecture[6].
Références
[modifier | modifier le code]- (en) John William Scott Cassels et Henry Peter Francis Swinnerton-Dyer, « On the product of three homogeneous linear forms and the indefinite ternary quadratic forms », Philosophical Transactions of the Royal Society A, vol. 248, no 940, , p. 73–96 (DOI 10.1098/rsta.1955.0010, JSTOR 91633, MR 70653, zbMATH 0065.27905)
- Adamczewski et Bugeaud 2010, p. 444.
- (en) Manfred Einsiedler, Anatole Katok et Elon Lindenstrauss, « Invariant measures and the set of exceptions to Littlewood's conjecture », Annals of Mathematics, vol. 164, no 2, , p. 513–560 (DOI 10.4007/annals.2006.164.513, MR 2247967, zbMATH 1109.22004, arXiv math.DS/0612721)
- Venkatesh 2007.
- Adamczewski et Bugeaud 2010, p. 445.
- Adamczewski et Bugeaud 2010, p. 446.
Bibliographie
[modifier | modifier le code]- (en) Boris Adamczewski et Yann Bugeaud, chap. 8 « Transcendence and diophantine approximation », dans Valérie Berthé et Michel Rigo, Combinatorics, Automata and Number Theory, Cambridge, Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (no 135), , xx-615 (ISBN 978-0-521-51597-9, zbMATH 1271.11073), p. 410-451
- (en) Shunsuke Usuki, « On a lower bound of the number of integers in Littlewood's conjecture », Arxiv, (DOI 10.48550/arXiv.2207.13462, lire en ligne, consulté le )
- (en) Shunsuke Usuki, « An improvement of the lower bound of the number of integers in Littlewood's conjecture », Arxiv, (DOI 10.48550/arXiv.2401.05027, lire en ligne, consulté le )
- (en) Akshay Venkatesh, « The work of Einsiedler, Katok, and Lindenstrauss on the Littlewood conjecture », Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), vol. 45, no 1, , p. 117–134 (DOI 10.1090/S0273-0979-07-01194-9, MR 2358379, zbMATH 1194.11075, lire en ligne)
- (en) Manfred Leopold Einsiedler et Thomas Ward, Ergodic theory: with a view towards number theory, Springer, coll. « Graduate texts in mathematics » (no 259), (ISBN 978-0-85729-020-5)