En mathématiques, il existe deux notions de représentations adjointes :
Alors que la première est une représentation de groupe, la seconde est une représentation d'algèbre.
Soient :
, un groupe de Lie ;
, l'élément identité de
;
, l'algèbre de Lie de
;
l'automorphisme intérieur de
sur lui-même, donné par
.
Définition :
La représentation adjointe du groupe de Lie
sur son algèbre de Lie
est :
.
Remarques :
- la représentation adjointe
est un morphisme de groupes :
;
- pour tout
, la représentation adjointe de
est un isomorphisme d'algèbres :
.
Définition :
La représentation adjointe de l'algèbre de Lie
sur elle-même est :
.
Remarques :
- la structure d'algèbre
sur l'espace tangent
peut être définie à partir de la représentation adjointe
via :
;
- puisque le crochet de Lie
satisfait l'identité de Jacobi, la représentation adjointe
est un morphisme d'algèbres :
.
Supposons que
est un groupe de Lie matriciel, e. g.
ou
, de sorte que son algèbre de Lie soit aussi matriciel, e. g.
ou
.
Alors, les deux représentations adjointes sont explicitement :
![{\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}(\xi )=g\xi g^{-1},\qquad \forall g\in G,\;\forall \xi \in {\mathfrak {g}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84aNwQzjo1oNwOntJAo2zEntFFzNoOztlAygnAytJDzqoQagw4aDFA)
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{\xi _{1}}(\xi _{2})=[\xi _{1},\xi _{2}],\qquad \forall \xi _{1},\xi _{2}\in {\mathfrak {g}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85aDrEz2nCoDK4ajvBaDeOajdEzAsQage0njo2ztwQnjBAyjhDaAe0)
où
est ici le commutateur de matrices.
La forme de Killing est définie par :
.
La forme de Killing est
-invariante :
.
Ainsi, elle vérifie de plus :
.
Si
est un groupe de Lie de classe
, l'application adjointe
est différentiable.
En effet, il suffit de démontrer que l'application d'évaluation
est différentiable.
Mais par définition de
, c'est la différentielle en la seconde variable en l'élément neutre de
. En toute généralité, il y a une perte de régularité pour la représentation adjointe.
(en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry, 1963