Théorème de Buchdahl
Le théorème de Buchdahl (en anglais : Buchdahl theorem) est le théorème qui énonce qu'en relativité générale, la compacité maximale d'un objet de fluide parfait, à symétrie sphérique et statique est : , où et sont respectivement la masse et le rayon de l'objet et où et sont respectivement la constante gravitationnelle et la vitesse de la lumière dans le vide[1]. Le rayon est dit rayon de Buchdahl[2]. Ce théorème montre qu'en relativité générale, une boule de rayon fixé ne peut contenir qu'une masse limitée[3],[4]. Un énoncé alternatif de ce théorème est que le décalage gravitationnel vers le rouge depuis la surface d'une étoile statique ne peut être supérieur à 2[4],[5],[6]. Un corollaire de ce théorème est qu'en relativité générale, il existe un écart (gap) de compacité entre une étoile de fluide parfait et un trou noir dont la compacité est [1].
Historique
[modifier | modifier le code]En , Karl Schwarzschild (-) publie successivement[7],[8] deux métriques, solutions exactes de l'équation tensorielle fondamentale de la relativité générale d'Albert Einstein[9]. Ensemble, elles permettent de modéliser le champ gravitationnel à l'extérieur, à la surface et à l'intérieur d'une étoile telle que le Soleil. L'étoile est modélisée comme une boule de fluide parfait à densité constante, c'est-à-dire incompressible. La métrique externe s'applique à l'extérieur de l'étoile[9] ; la métrique interne, à l'intérieur de celle-ci[9]. Les deux métrique sont raccordables à la surface de l'étoile. Schwarzschild met en évidence que le rayon de l'étoile doit être supérieur à 9⁄8 fois son rayon de Schwarzschild[10].
L'éponyme du théorème de Buchdahl[11],[12] est Hans A. Buchdahl (en) (1919-2010) qui a mis l'inégalité en évidence en [12],[13].
Désignations alternatives
[modifier | modifier le code]Le théorème de Buchdahl est aussi désigné comme l'inégalité de Buchdahl (en anglais : Buchdahl inequality[14]) et comme la limite de Buchdahl (Buchdahl limit[15]).
Expressions
[modifier | modifier le code]L'inégalité s'écrit :
ou
- ,
avec :
- , la masse de l'objet ;
- , le rayon de l'objet ;
- , la constante gravitationnelle ;
- , la vitesse de la lumière dans le vide.
En unités géométriques, c'est-à-dire avec :
- ,
l'inégalité s'écrit :
- ,
ou
- .
Un objet qui ne vérifie pas la relation s'effondre gravitationnellement.
Hypothèses
[modifier | modifier le code]Le théorème est basé sur les hypothèses suivantes : l'étoile est statique[16] et à symétrique sphérique[16] ; son intérieur est décrit par un fluide parfait[16] de densité d'énergie positive[16] et de pression positive[16], et dont la densité d'énergie est une fonction monotone décroissante de la coordonnée radiale [16] :
- [17].
Extensions
[modifier | modifier le code]Le théorème a été étendu afin d'inclure à la fois une charge et une constante cosmologique[18]. Il a été étendu à des espaces-temps de plus de quatre dimensions[18] incluant une constante cosmologique non nulle[18]. Il a été généralisé en gravitation en [18].
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Alho et al. 2022, résumé.
- André et Lemos 2021, p. ex. I, p. 2, col. 1.
- Beig et Schmidt 2000, sec. 5, § 5.3, p. 369.
- Bičák 2006, sec. 7, p. 172, col. 1.
- Lindblom 1984, I, p. 364, col. 1-2.
- Steane 2021, partie III, chap. 18, sec. 18.1, introduction, p. 252.
- Schwarzschild 1916a.
- Schwarzschild 1916b.
- Ayres 2016, p. 77.
- Ayres 2016, p. 78.
- Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009, chap. 12, § 12.4, p. 292-293.
- Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. Buchdahl (théorème de), p. 93, col. 2.
- Buchdahl 1959.
- (en) Anadijiban Das et Andrew DeBenedictis, The General Theory of Relativity: A Mathematical Exposition, New York et Londres, Springer, , XXVI-678 p. (ISBN 978-1-4614-3657-7 et 978-1-4899-8717-4), p. 252 (lire en ligne [html])
- (en) Thomas W. Baumgarte et Stuart L. Shapiro, Numerical Relativity : Solving Einstein's Equations on the Computer, Cambridge et New York, Cambridge University Press, , XVIII-698 p. (ISBN 978-0-521-51407-1, OCLC 496954929, lire en ligne), p. 16, n. 22 (lire en ligne [html])
- Ferrari, Gualtieri et Pani 2020, § 16.3.8, p. 365.
- Ferrari, Gualtieri et Pani 2020, § 16.3.8, p. 365 (16.231).
- Wright 2016, sec. 1, p. 2.
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Bibliographie
[modifier | modifier le code]: document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.
Publications originales
[modifier | modifier le code]- [Schwarzschild 1916a] (de) Karl Schwarzschild, « Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie » [« Sur le champ gravitationnel d'une masse ponctuelle selon la théorie d'Einstein »], Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften, , p. 189-196 (OCLC 1181956000, Bibcode 1916SPAW.......189S, lire sur Wikisource, lire en ligne).
- [Schwarzschild 1916b] (de) Karl Schwarzschild, « Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie » [« Sur le champ gravitationnel d'une sphère de fluide incompressible selon la théorie d'Einstein »], Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, , p. 424-434 (OCLC 1181956496, Bibcode 1916skpa.conf..424S, lire sur Wikisource, lire en ligne).
- [Buchdahl 1959] (en) Hans A. Buchdahl, « General relativistic fluid spheres », Phys. Rev., 2e série, vol. 116, no 4, , p. 1027-1034 (OCLC 4644587153, DOI 10.1103/PhysRev.116.1027, Bibcode 1959PhRv..116.1027B, résumé).
Études
[modifier | modifier le code]- [Alho et al. 2022] (en) Artur Alho, José Natário, Paolo Pani et Guilherme Raposo, « Compactness bounds in general relativity » [« Limites de compacité en relativité générale »], Physical Review D, vol. 106, no 4, , article no L041502 (OCLC 9575169596, DOI 10.1103/PhysRevD.106.L041502, Bibcode 2022PhRvD.106d1502A, arXiv 2202.00043, S2CID 246441877, résumé, lire en ligne [PDF]).
- [André et Lemos 2021] (en) Rui André et José P. S. Lemos, « Thermodynamics of -dimensional Schwarzschild black holes in the canonical ensemble », Physical Review D, vol. 103, no 6, , article no 064069 (DOI 10.1103/PhysRevD.103.064069, Bibcode 2021PhRvD.103f4069A, arXiv 2101.11010, S2CID 219792017, résumé, lire en ligne [PDF]).
- [Beig et Schmidt 2000] (en) Robert Beig et Bernd Schmidt, « Time-independent gravitational fields », dans Bernd G. Schmidt (éd.), Einstein's field equations and their physical implications : selected essays in honour of Jürgen Ehlers, Berlin et Heidelberg, Springer, coll. « Lecture notes in physics » (no 540), (réimpr. ), 1re éd., XIII-433 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-3-540-67073-5 et 978-3-642-08637-3, OCLC 490408208, BNF 44691503, DOI 10.1007/3-540-46580-4, Bibcode 2000LNP...540.....S, SUDOC 052238679, présentation en ligne), chap. 5, p. 325-372.
- [Chirenti, Posada et Guedes 2020] (en) Cecilia Chirenti, Camilo Posada et Victor Guedes, « Where is Love ? : tidal deformability in the black hole compactness limit », Classical and Quantum Gravity, vol. 37, no 19, , article no 195017 (OCLC 8661683862, DOI 10.1088/1361-6382/abb07a, Bibcode 2020CQGra..37s5017C, arXiv 2005.10794, S2CID 218763391, résumé, lire en ligne [PDF]).
- [Lindblom 1984] (en) Lee Lindblom, « Limits on the gravitational redshift form neutron stars », The Astrophysical Journal, Part 1, vol. 278, no 1, , p. 364-368 (OCLC 4650418676, DOI 10.1086/161800, Bibcode 1984ApJ...278..364L, résumé, lire en ligne [PDF]).
- [Wright 2016] (en) Matthew Wright, « Buchdahl's inequality in five dimensional Gauss-Bonnet gravity », General Relativity and Gravitation, vol. 48, no 7, , article no 93 (OCLC 1185998778, DOI 10.1007/s10714-016-2091-9, Bibcode 2016GReGr..48...93W, MR 3512435, arXiv 1507.05560, S2CID 117433596, résumé, lire en ligne [PDF]).
Cours d'enseignement supérieur
[modifier | modifier le code]- [Ayres 2016] (en) Robert Ayres, Energy, complexity and wealth maximization, Cham, Springer, coll. « The frontiers collection », , 1re éd., XXV-593 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-3-319-30544-8 et 978-3-319-80835-2, EAN 9783319305448, OCLC 1076586073, DOI 10.1007/978-3-319-30545-5, SUDOC 232385203, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Ferrari, Gualtieri et Pani 2020] (en) Valeria Ferrari, Leonardo Gualtieri et Paolo Pani, General relativity and its applications : black holes, compact stars and gravitational waves [« La relativité générale et ses applications : trous noirs, étoiles compactes et ondes gravitationnelles »], Boca Raton, CRC Press, hors coll., , 1re éd., XVIII-475 p., 17,8 × 25,4 cm (ISBN 978-1-138-58977-3 et 978-0-367-62532-0, EAN 9781138589773, OCLC 1247682853, DOI 10.1201/9780429491405, SUDOC 255050844, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009] Michael P. Hobson, George Efstathiou et Anthony N. Lasenby (trad. de l'anglais américain par Loïc Villain, rév. par Richard Taillet), Relativité générale [« General relativity : an introduction for physicists »], Bruxelles, De Boeck Université, coll. « Physique », , 1re éd., 1 vol., XX-554, ill. et fig., 21,6 × 27,5 cm (ISBN 978-2-8041-0126-8, EAN 9782804101268, OCLC 690272413, BNF 42142174, SUDOC 140535705, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 12, § 12.4 (« Théorème de Buchdahl »), p. 292-293.
- [Schutz 2009] (en) Bernard F. Schutz, A first course in general relativity [« Un premier cours de relativité générale »], Cambridge, CUP, hors coll., (réimpr. ), 2e éd. (1re éd. ), 1 vol., XV-393, ill. et fig., 19,5 × 25,2 cm (ISBN 978-0-521-88705-2, EAN 9780521887052, OCLC 495415384, DOI 10.1017/CBO9780511984181, Bibcode 2009fcgr.book.....S, SUDOC 134041208, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 10, § 10.7, s.v. Buchdahl's theorem, p. 269.
- [Steane 2021] (en) Andrew M. Steane, Relativity made relatively easy, t. II : General relativity and cosmology, Oxford, OUP, , 1re éd., XIV-494 p., 18,9 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-289564-6 et 978-0-19-289354-3, EAN 9780192895646, OCLC 1390586632, DOI 10.1093/oso/9780192895646.001.0001, Bibcode 2021rmre.book.....S, SUDOC 255661223, résumé, présentation en ligne, lire en ligne).
Dictionnaires et encyclopédies
[modifier | modifier le code]- [Bičák 2006] (en) Jiří Bičák, « Einstein equations : exact solutions », dans Jean-Pierre Françoise, Gregory L. Naber et Tsou Sheung Tsun (éd.), Encyclopedia of mathematical physics, t. II : D-H, Amsterdam, Academic Press, , 1re éd. (ISBN 0-12-512662-X, OCLC 492522898, BNF 40188774, SUDOC 10941392X, présentation en ligne), p. 165-173 (OCLC 697750906, DOI 10.1016/B0-12-512666-2/00057-2, Bibcode 2006gr.qc.....4102B, arXiv gr-qc/0604102, S2CID 15750859).
- [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., , 4e éd. (1re éd. ), X-956 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v. Buchdahl (théorème de), p. 93, col. 2.